1.7 Para cada um dos sinais dados a seguir, determine todos os valores da variável independente para os quais a parte par do sinal seja garantidamente zero.
x_{3}[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n-3]

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x_{3}[n]=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}\,u[n-3]
e pede os valores de n para os quais a parte par
x_{e}[n]=\frac{x_{3}[n]+x_{3}[-n]}{2}
é garantidamente zero. Vamos usar a definição de parte par e analisar os suportes de x_{3}[n] e de x_{3}[-n].

Passo 2

Determinar onde x_{3}[n]\neq0. Como u[n-3]=1 para n-3\ge0, temos
x_{3}[n]\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge3.
Para n\le2, de fato x_{3}[n]=0.

Passo 3

Determinar onde x_{3}[-n]\neq0. Trocando n por -n, a condição é -n\ge3, isto é,
x_{3}[-n]\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad n\le -3.
Para n\ge -2, resulta x_{3}[-n]=0.

Passo 4

Queremos x_{e}[n]=0, ou seja,
x_{3}[n]+x_{3}[-n]=0.
Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{n} é sempre positiva quando não nula, a única forma de a soma ser zero é termos simultaneamente x_{3}[n]=0 e x_{3}[-n]=0. Pelas condições dos passos anteriores:
x_{3}[n]=0\;\Longleftrightarrow\;n\le2, \quad x_{3}[-n]=0\;\Longleftrightarrow\;n\ge -2.
Logo, ambos se anulam para
-2\le n\le 2.

Resposta

Os valores inteiros de n para os quais a parte par de x_{3}[n] é zero são
n\in\{-2,-1,0,1,2\}.

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