1.7 Para cada um dos sinais dados a seguir, determine todos os valores da variável independente para os quais a parte par do sinal seja garantidamente zero.
x_{1}[n]=u[n]-u[n-4]
Passo 1
O enunciado pede para o sinal discreto
x_{1}[n]=u[n]-u[n-4]
que é um pulso de amplitude unitária para 0\le n\le3, e zero caso contrário, encontrarmos todos os valores de n tais que a parte par
x_{e}[n]=\frac{x_{1}[n]+x_{1}[-n]}{2}
seja garantidamente zero. Vamos usar definição de parte par e suporte do sinal.
Passo 2
Para ver onde x_{1}[n]\) é não nulo, note que
\[u[n]= \begin{cases} 1, & n\ge0,\\\\ 0, & n<0, \end{cases}
Em particular, x_{1}[n]=1\] só em \(n=0,1,2,3 e vale zero para qualquer outro n.
Passo 3
Pela definição, a parte par é
x_{e}[n]=\frac{x_{1}[n]+x_{1}[-n]}{2}.
Para que x_{e}[n]=0 precisamos de
x_{1}[n]+x_{1}[-n]=0.
Como x_{1}[\cdot] só assume valores 0 ou 1, essa soma só pode ser zero se simultaneamente
x_{1}[n]=0 \quad\text{e}\quad x_{1}[-n]=0.
Passo 4
A condição x_{1}[n]=0 significa n\notin\{0,1,2,3\}, ou seja n\notin[0,3].
A condição x_{1}[-n]=0 significa -n\notin[0,3], ou seja n\notin[-3,0].
Para satisfazer as duas, precisamos de
n\notin[0,3]\quad\text{e}\quad n\notin[-3,0],
o que é equivalente a
n\notin[-3,3].
Resposta
A parte par de x_{1}[n] é zero para todos os inteiros