1.7 Para cada um dos sinais dados a seguir, determine todos os valores da variável independente para os quais a parte par do sinal seja garantidamente zero.
x_{4}(t)=e^{-5 t} u(t+2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sinal x_4(t)=e^{-5t}\,u(t+2) e queremos determinar todos os valores de t para os quais a parte par do sinal, dada por
x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},
é zero. Esse exercício envolve decomposição de sinais em partes par e ímpar, um tópico clássico de sinais e sistemas.

Passo 2

A condição para x_e(t)=0 é
x(t)+x(-t)=0.
Aqui x(t) e x(-t) são produtos de uma exponencial por um degrau, portanto são sempre não negativos. A soma só pode ser zero se ambos os termos forem zero simultaneamente:
x(t)=0 \quad\text{e}\quad x(-t)=0.

Passo 3

Vamos achar os suportes de cada termo:
  • Para x(t)=e^{-5t}u(t+2):
    u(t+2)=0 quando t+2<0, ou seja para t< -2. Logo
x(t)=0\quad\text{para }t< -2,
e x(t)\neq0 para t\ge -2.
  • Para x(-t)=e^{5t}u(-t+2):
    u(-t+2)=0 quando -t+2<0, ou seja para -t< -2 t>2. Logo
x(-t)=0\quad\text{para }t>2,
e x(-t)\neq0 para t\le 2.

Passo 4

Queremos simultaneamente
x(t)=0\quad\Longrightarrow\quad t< -2,
e
x(-t)=0\quad\Longrightarrow\quad t>2.
Não existe valor de t que seja ao mesmo tempo < -2 e >2.

Resposta

Não há nenhum valor de t para o qual a parte par de x_4(t) seja garantidamente zero.

Exercícios relacionados