O projeto de um controle de manobra para um veículo envolve a seleção de dois parâmetros. Deseja-se selecionar \boldsymbol{K} e \boldsymbol{a} de modo que o sistema seja estável e que o erro de estado estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a 24 \% da magnitude do comando. A equação característica do sistema é dada por:
1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}=0

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Selecionar \boldsymbol{K} e \boldsymbol{a} tal que o sistema seja estável.
  • Além disso, o erro em regime permanente para um comando em rampa deve ser menor ou igual a 24\% da magnitude do comando.
Informações dadas:
  • A equação característica do sistema é
1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}=0.
  • Não há outras informações explícitas (assumimos realimentação unitária, como é padrão quando a característica tem a forma 1+G(s)=0).

Passo 2

Identificar a função de transferência em malha direta e a relação com o erro em regime permanente para rampa.
  • Da equação característica 1+G(s)=0 obtemos a função de malha direta
G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}.
Explicação rápida: a forma 1+G(s)=0 é a forma padrão de um sistema com realimentação unitária, logo o numerador fornecido multiplica por K G(s).
  • Para entrada rampa de inclinação A (ou, em termos relativos, considerar A=1 sem perda de generalidade para erro relativo), o erro em regime permanente e_{ss} para realimentação unitária é dado por
e_{ss}=\frac{A}{K_v},
onde K_v é a constante de velocidade definida por
K_v=\lim_{s\to0} s\,G(s).
Explicação didática: K_v mede a habilidade do sistema tipo-1 (tem um polo em zero) em seguir rampas; quanto maior K_v, menor o erro para a mesma rampa.

Passo 3

Calcular K_v para o G(s) dado e traduzir a exigência de 24\%.
  • Calcule K_v:
K_v=\lim_{s\to0} s\cdot\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}=\lim_{s\to0}\frac{K(s+a)}{(s+1)(s+2)(s+5)}.
Ao avaliar em s=0:
K_v=\frac{K\cdot a}{(1)(2)(5)}=\frac{K a}{10}.
Expliquei: substituí s=0 porque o limite é contínuo e os termos tornam-se constantes.
  • A exigência “erro de estado estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a 24\% da magnitude do comando” significa (em termos relativos) que
\frac{e_{ss}}{A}\le 0{,}24 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{K_v}\le 0{,}24.
Logo
K_v \ge \frac{1}{0{,}24}=\frac{25}{6}.
Substituindo K_v=\dfrac{K a}{10}:
\frac{K a}{10}\ge\frac{25}{6}\quad\Longrightarrow\quad K a \ge \frac{125}{3}.
Este é o limite inferior exigido sobre o produto K a.

Passo 4

Determinar as condições de estabilidade (Routh–Hurwitz) do polinômio característico fechado.
  • Escrever o polinômio característico fechado P(s). Multiplicando s(s+1)(s+2)(s+5) temos primeiro
s(s+1)(s+2)(s+5)=s^4+8s^3+17s^2+10s.
Assim
P(s)=s^4+8s^3+17s^2+(10+K)s+K a.
Expliquei: somei K(s+a) aos termos já existentes para obter o polinômio completo.
  • Montar a tabela de Routh (apenas os elementos necessários):
\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 17 & K a\\[4pt] s^3 & 8 & 10+K & 0\\[4pt] s^2 & b_1 & b_2 & 0\\[4pt] s^1 & c_1 & 0 & 0\\[4pt] s^0 & K a & 0 & 0 \end{array}
Onde
b_1=\frac{8\cdot17-1\cdot(10+K)}{8}=\frac{126-K}{8}, \qquad b_2=K a.
E
c_1=\frac{b_1(10+K)-8\cdot(K a)}{b_1}=(10+K)-\frac{8K a}{b_1}.
  • Para estabilidade é necessário que todos os termos da primeira coluna sejam estritamente positivos. Isso fornece as condições:
  1. 1>0 (sempre verdadeiro);
  2. 8>0 (sempre verdadeiro);
  3. b_1>0\Rightarrow \dfrac{126-K}{8}>0\Rightarrow K<126.
  4. c_1>0\Rightarrow (10+K)-\dfrac{8K a}{b_1}>0. Como b_1>0, multiplicando, obtemos
(10+K)(126-K)>64K a.
Desenvolvendo o produto:
1260+116K-K^2>64K a.
Isolando a (assumindo K>0):
a<\frac{1260+116K-K^2}{64K}.
  1. Finalmente K a>0 (isto exige K>0 e a>0 para termos erro finito positivo e K_v>0).
Resumo das condições de estabilidade obtidas pela Routh:
K>0,\qquad K<126,\qquad a>0,\qquad a<\frac{1260+116K-K^2}{64K}.]

Passo 5

Combinar a condição de erro com as condições de estabilidade para obter a região viável de (K,a).
  • Temos a condição de erro (lower bound):
K a \ge \frac{125}{3}.
Isto implica, para dado K>0, um limite inferior para a:
a \ge \frac{125}{3}\cdot\frac{1}{K}.
  • Juntando com a condição de estabilidade (upper bound):
\frac{125}{3}\cdot\frac{1}{K} \le a < \frac{1260+116K-K^2}{64K}.
Para existir a que satisfaça ambas as desigualdades, é necessário que
\frac{125}{3}\le \frac{1260+116K-K^2}{64}.
Multiplicando ambos os lados por 64 e rearranjando obtemos a inequação quadrática
3K^2-348K+4220\le 0.
  • Resolver esta inequação: o discriminante é
\Delta=348^2-4\cdot3\cdot4220=70464,
cuja raiz quadrada vale aproximadamente \sqrt{\Delta}\approx 265{,}45056. As raízes da igualdade são
K=\frac{348\pm\sqrt{70464}}{6}\approx 13{,}758\quad\text{e}\quad 102{,}242.
Portanto a condição para existência de a é
13{,}758\lesssim K\lesssim 102{,}242,
respeitando ainda K<126 (já satisfeito) e K>0.
  • Conclusão sobre a região viável: para qualquer K na faixa
K\in\left[\;13{,}758\,,\;102{,}242\;\right]
e escolhendo um a que satisfaça
\frac{125}{3}\cdot\frac{1}{K}\le a<\frac{1260+116K-K^2}{64K},
o sistema será estável e atenderá ao requisito de erro em rampa menor ou igual a 24\%.

Passo 6

Dar um exemplo concreto de escolha de (K,a) que satisfaça ambas as condições (útil para a prova/prática).
  • Escolha simples: K=20. Verificações:
    • Está dentro da faixa 13{,}758<K<102{,}242.
    • Limite inferior para a por erro: a\ge\frac{125}{3}\cdot\frac{1}{20}=\frac{125}{60}=\frac{25}{12}\approx2{,}0833.
    • Limite superior por estabilidade:
    a<\frac{1260+116\cdot20-20^2}{64\cdot20}=\frac{1260+2320-400}{1280}=\frac{3180}{1280}=2{,}484375.
    • Assim a=\dfrac{25}{12} satisfaz 2{,}0833\le a<2{,}484375. Logo o par
    K=20,\qquad a=\frac{25}{12}
    é uma escolha válida.
  • Outro exemplo (mais pequeno em a): K=30, então a=\dfrac{25}{18}\approx1{,}3889 também satisfaz ambas as condições (verificável usando as fórmulas acima).

Resposta

Conjunto viável: K e a devem satisfazer
K\in\left[13{,}758\,,\;102{,}242\right], \qquad \frac{125}{3}\cdot\frac{1}{K}\le a<\frac{1260+116K-K^2}{64K}.
Exemplo válido:
K=20,\; a=\dfrac{25}{12}.

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