O projeto de um controle de manobra para um veículo envolve a seleção de dois parâmetros. Deseja-se selecionar
e
de modo que o sistema seja estável e que o erro de estado estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a
da magnitude do comando. A equação característica do sistema é dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Selecionar
e tal que o sistema seja estável. - Além disso, o erro em regime permanente para um comando em rampa deve ser menor ou igual a
da magnitude do comando.
Informações dadas:
- A equação característica do sistema é
- Não há outras informações explícitas (assumimos realimentação unitária, como é padrão quando a característica tem a forma
).
Passo 2
Identificar a função de transferência em malha direta e a relação com o erro em regime permanente para rampa.
- Da equação característica
obtemos a função de malha direta
Explicação rápida: a forma
é a forma padrão de um sistema com realimentação unitária, logo o numerador fornecido multiplica por
dá
.
- Para entrada rampa de inclinação
(ou, em termos relativos, considerar sem perda de generalidade para erro relativo), o erro em regime permanente para realimentação unitária é dado por
onde
é a constante de velocidade definida por
Explicação didática:
mede a habilidade do sistema tipo-1 (tem um polo em zero) em seguir rampas; quanto maior
, menor o erro para a mesma rampa.
Passo 3
Calcular
para o
dado e traduzir a exigência de
.
- Calcule
:
Ao avaliar em
:
Expliquei: substituí
porque o limite é contínuo e os termos tornam-se constantes.
- A exigência “erro de estado estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a
da magnitude do comando” significa (em termos relativos) que
Logo
Substituindo
:
Este é o limite inferior exigido sobre o produto
.
Passo 4
Determinar as condições de estabilidade (Routh–Hurwitz) do polinômio característico fechado.
- Escrever o polinômio característico fechado
. Multiplicando temos primeiro
Assim
Expliquei: somei
aos termos já existentes para obter o polinômio completo.
- Montar a tabela de Routh (apenas os elementos necessários):
Onde
E
- Para estabilidade é necessário que todos os termos da primeira coluna sejam estritamente positivos. Isso fornece as condições:
-
(sempre verdadeiro); -
(sempre verdadeiro); -
-
Como , multiplicando, obtemos
Desenvolvendo o produto:
Isolando
(assumindo
):
- Finalmente
(isto exige e para termos erro finito positivo e ).
Resumo das condições de estabilidade obtidas pela Routh:
Passo 5
Combinar a condição de erro com as condições de estabilidade para obter a região viável de
.
- Temos a condição de erro (lower bound):
Isto implica, para dado
, um limite inferior para
:
- Juntando com a condição de estabilidade (upper bound):
Para existir
que satisfaça ambas as desigualdades, é necessário que
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando obtemos a inequação quadrática
- Resolver esta inequação: o discriminante é
cuja raiz quadrada vale aproximadamente
. As raízes da igualdade são
Portanto a condição para existência de
é
respeitando ainda
(já satisfeito) e
.
- Conclusão sobre a região viável: para qualquer
na faixa
e escolhendo um
que satisfaça
o sistema será estável e atenderá ao requisito de erro em rampa menor ou igual a
.
Passo 6
Dar um exemplo concreto de escolha de
que satisfaça ambas as condições (útil para a prova/prática).
-
Escolha simples:
. Verificações: - Está dentro da faixa
. - Limite inferior para
por erro: - Limite superior por estabilidade:
- Assim
satisfaz . Logo o par
é uma escolha válida. - Está dentro da faixa
-
Outro exemplo (mais pequeno em
): , então também satisfaz ambas as condições (verificável usando as fórmulas acima).
Resposta
Conjunto viável:
e
devem satisfazer
Exemplo válido: