Para cada uma das funções respostas nas Eqs. (4.86) e (4,87), determine se há cancelamento entre o zero e o pólo mais próximo do zero. Para a função em que o cancelamento seja válido, obtenha a resposta aproximada.
O que o enunciado pede: para cada uma das funções C_{1}(s) e C_{2}(s) determinar se existe cancelamento entre o zero e o pólo mais próximo do zero; e, quando o cancelamento for válido, obter a resposta aproximada.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Nada mais será perguntado — vou analisar os zeros e pólos, medir as distâncias entre eles e decidir se o cancelamento é aceitável.
Passo 2
Identificar zeros e pólos de cada função (lista explícita das raízes dos numerador e denominador):
Para C_{1}(s):
Zero: \,s=-4\, (vem do fator (s+4) do numerador).
Pólos: \,s=0,\;s=-3,5,\;s=-5,\;s=-6\, (vêm dos fatores do denominador).
Para C_{2}(s):
Zero: \,s=-4\,.
Pólos: \,s=0,\;s=-4,01,\;s=-5,\;s=-6\,.
Passo 3
Regra prática para decidir sobre cancelamento aproximado (aula curta e intuitiva):
Um cancelamento entre um zero em s=z e um pólo em s=p pode ser considerado válido (aproximado) quando a distância |z-p| for muito pequena comparada às outras distâncias relevantes do sistema — por exemplo comparada às distâncias para os outros pólos ou à escala de frequência de interesse. Em termos práticos, se |z-p| for algumas ordens de magnitude menor do que as distâncias para os outros pólos, a razão \dfrac{s-z}{s-p} ficará muito próxima de 1 na faixa onde s varia na prova, e podemos simplificar substituindo esse quociente por 1. A medida do erro relativo aproximado será da ordem de \dfrac{|z-p|}{|s-p|}.
Passo 4
Aplicando a regra a C_{1}(s): calcular distâncias do zero s=-4 aos pólos:
O pólo mais próximo do zero é s=-3,5, com distância |z-p|=0,5. Essa distância (0,5) não é muito pequena quando comparada às demais escalas do sistema (por exemplo é da mesma ordem que a distância para s=-5, que é 1). Portanto a razão \dfrac{s+4}{s+3,5} não é próxima de 1 em geral e o cancelamento não é justificável como boa aproximação. Conclusão para C_{1}: não há cancelamento aceitável.
Passo 5
Análise detalhada para C_{2}(s): calcular distâncias do zero s=-4 aos pólos:
Aqui o pólo mais próximo é s=-4,01, com distância |z-p|=0,01. Isso é muito menor do que as outras distâncias (1, 2, etc.), portanto há forte indicação de que o zero e o pólo se anulam aproximadamente.
Para tornar isso explícito, escrevo a razão envolvida:
\frac{s+4}{s+4,01} = 1 - \frac{0,01}{s+4,01}.
Essa identidade vem de (s+4)=(s+4,01)-0,01. A interpretação: o termo que diferencia a razão de 1 é \dfrac{0,01}{s+4,01}. Se |s+4,01|\gg 0,01 (ou seja, se a frequência/valor de s considerado não coloca o sistema a uma distância da ordem de 0,01 de -4,01), então
\frac{s+4}{s+4,01}\approx 1,
com erro relativo aproximadamente
\left|\frac{0,01}{s+4,01}\right|.
Passo 6
Estimativa numérica do erro para dar confiança (exemplos concretos — aula com números):
Em DC (s=0): \left|\dfrac{0,01}{0+4,01}\right|=\dfrac{0,01}{4,01}\approx 0{,}002496, isto é cerca de 0{,}25\% de erro relativo — muito pequeno.
Para s=j\omega com \omega na ordem de 1 a 10, |s+4,01| é da ordem de 4 a 10, então o erro relativo continua da ordem de 0{,}1\% a 0{,}5\%.
Portanto, na maioria das análises de interesse (resposta em frequência típica, comportamento de malha, respostas transientes não finíssimamente próximas a -4), a aproximação é excelente.
Passo 7
Construir a função aproximada quando o cancelamento é válido: partir de C_{2}(s) e substituir \dfrac{s+4}{s+4,01} por 1:
que é a resposta aproximada procurada. Lembre-se que esse modelo negligencia um erro relativo da ordem de \dfrac{0,01}{|s+4,01|}, tipicamente \sim 0{,}25\% em DC e similar em frequências próximas.
Resposta
Para C_{1}(s): não há cancelamento (distância zero–pólo mais próximo é 0,5, não pequena).
Para C_{2}(s): cancelamento válido (zero em -4 e pólo em -4,01 com distância 0,01); aproximação