Para cada sistema apresentado a seguir determine:
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede que, para cada sistema dado, a gente determine os seguintes parâmetros:
,
,
,
e
.
Os sistemas fornecidos são:
Os sistemas fornecidos são:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada denominador é um polinômio do segundo grau da forma
. - É pedido calcular os parâmetros dinâmicos de um sistema de segunda ordem padrão para cada função de transferência.
Passo 2
Vamos fixar as fórmulas e o significado de cada símbolo (aquelas “ferramentas” que você deve decorar para a prova):
- Forma padrão do denominador de um sistema de segunda ordem:
Aqui:
-
é o fator de amortecimento (damping ratio), adimensional. -
é a frequência natural não amortecida, em . -
Como extrair
e : comparar coeficientes do denominador dado com a forma padrão e resolver:
Ou seja, se o denominador é
, então
e
.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar para
,
e
(com explicação do que cada símbolo significa):
- Frequência amortecida:
Isto é a frequência de oscilação quando há amortecimento.
- Tempo de pico (tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau), para resposta subamortecida
:
Aqui
é a constante 3,14159…
- Sobresinal percentual (percent overshoot) em forma decimal:
Se quiser em porcentagem multiplica-se por
.
- Tempo de acomodação (settling time) usando o critério de
(fórmula de uso corrente em provas):
Esta é uma aproximação prática muito usada: significa que a resposta ficou dentro de
do valor final.
Observação rápida: todas as fórmulas acima só fazem sentido (na forma usada) quando o sistema é do tipo subamortecido
. Se
alguns termos (como
e
) mudam de interpretação — mas neste exercício os sistemas são subamortecidos.
Passo 4
Denominador:
. Comparando com
:
-
Em LaTeX:. -
Em LaTeX:
Passo 5
Agora calculamos os demais parâmetros passo a passo.
-
-
-
Em porcentagem:. -
Passo 6
Denominador:
. Comparando com a forma padrão:
Passo 7
- Calculemos
. Note que, por identidades exatas, com temos
portanto
-
-
Em porcentagem:. -
(Observação: aqui o produtoé exato, por isso ficou exatamente .)
Passo 8
Denominador:
. Comparando:
Passo 9
-
-
-
Em porcentagem:. -
Resposta
G_{1}:
,
,
,
,
G_{2}:
(ou
),
,
,
,
G_{3}:
,
,
,
,