Para cada sistema apresentado a seguir determine: \zeta, \omega_{n}, \mathrm{t}_{\mathrm{p}}, \mathrm{M}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}}.
G_{1}(s)=\frac{100}{s^{2}+15 s+100}
G_{3}(s)=\frac{16}{s^{2}+3 s+16}
G_{2}(s)=\frac{361}{s^{2}+16 s+361}

Passo 1

O enunciado pede que, para cada sistema dado, a gente determine os seguintes parâmetros: \zeta, \omega_{n}, t_{p}, M_{p} e t_{s}.
Os sistemas fornecidos são:
G_{1}(s)=\frac{100}{s^{2}+15 s+100}
G_{2}(s)=\frac{361}{s^{2}+16 s+361}
G_{3}(s)=\frac{16}{s^{2}+3 s+16}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada denominador é um polinômio do segundo grau da forma s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
  • É pedido calcular os parâmetros dinâmicos de um sistema de segunda ordem padrão para cada função de transferência.

Passo 2

Vamos fixar as fórmulas e o significado de cada símbolo (aquelas “ferramentas” que você deve decorar para a prova):
  • Forma padrão do denominador de um sistema de segunda ordem:
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Aqui:
  • \zeta é o fator de amortecimento (damping ratio), adimensional.
  • \omega_{n} é a frequência natural não amortecida, em \mathrm{rad/s}.
  • Como extrair \zeta e \omega_{n}: comparar coeficientes do denominador dado com a forma padrão e resolver:
\omega_{n}=\sqrt{\text{termo constante}},\qquad \zeta=\frac{\text{coeficiente de }s}{2\omega_{n}}.
Ou seja, se o denominador é s^{2}+a s + b, então \omega_{n}=\sqrt{b} e \zeta = a/(2\omega_{n}).

Passo 3

Fórmulas que vamos usar para t_{p}, M_{p} e t_{s} (com explicação do que cada símbolo significa):
  • Frequência amortecida:
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Isto é a frequência de oscilação quando há amortecimento.
  • Tempo de pico (tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau), para resposta subamortecida (0<\zeta<1):
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}.
Aqui \pi é a constante 3,14159…
  • Sobresinal percentual (percent overshoot) em forma decimal:
M_{p}=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Se quiser em porcentagem multiplica-se por 100\%.
  • Tempo de acomodação (settling time) usando o critério de 2\% (fórmula de uso corrente em provas):
t_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_{n}}.
Esta é uma aproximação prática muito usada: significa que a resposta ficou dentro de \pm 2\% do valor final.
Observação rápida: todas as fórmulas acima só fazem sentido (na forma usada) quando o sistema é do tipo subamortecido (0<\zeta<1). Se \zeta\ge1 alguns termos (como t_{p} e M_{p}) mudam de interpretação — mas neste exercício os sistemas são subamortecidos.

Passo 4

Denominador: s^{2}+15s+100. Comparando com s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}:
  • \omega_{n}=\sqrt{100}=\;10\\ \mathrm{rad/s}.
    Em LaTeX: \omega_{n}=\sqrt{100}=10.
  • \zeta=\dfrac{15}{2\cdot 10}=\dfrac{15}{20}=0,75.
    Em LaTeX: \zeta=\dfrac{15}{2\omega_{n}}=\dfrac{15}{20}=0,75.

Passo 5

Agora calculamos os demais parâmetros passo a passo.
  • \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=10\sqrt{1-0,75^{2}}=10\sqrt{1-0,5625}=10\sqrt{0,4375}=10\cdot0,6614378\approx6,614378.
  • t_{p}=\dfrac{\pi}{\omega_{d}}=\dfrac{\pi}{6,614378}\approx0,4749\\ \mathrm{s}.
  • M_{p}=e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} = e^{-\dfrac{\pi\cdot0,75}{0,6614378}} \approx e^{-3,56306}\approx0,0284.
    Em porcentagem: M_{p}\approx2,84\%.
  • t_{s}\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_{n}}=\dfrac{4}{0,75\cdot10}=\dfrac{4}{7,5}\approx0,5333\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Denominador: s^{2}+16s+361. Comparando com a forma padrão:
  • \omega_{n}=\sqrt{361}=19\\ \mathrm{rad/s}.
  • \zeta=\dfrac{16}{2\cdot19}=\dfrac{16}{38}=\dfrac{8}{19}\approx0,4210526.

Passo 7

  • Calculemos \omega_{d}. Note que, por identidades exatas, com \zeta=\dfrac{8}{19} temos
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-\left(\dfrac{8}{19}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{297}{361}}=\dfrac{\sqrt{297}}{19},
portanto
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=19\cdot\dfrac{\sqrt{297}}{19}=\sqrt{297}\approx17,233.
  • t_{p}=\dfrac{\pi}{\omega_{d}}=\dfrac{\pi}{\sqrt{297}}\approx\dfrac{3,14159}{17,233}\approx0,1824\\ \mathrm{s}.
  • M_{p}=e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} = e^{-\dfrac{\pi\cdot(8/19)}{\sqrt{297}/19}} = e^{-\dfrac{8\pi}{\sqrt{297}}}\approx e^{-1,4581}\approx0,2326.
    Em porcentagem: M_{p}\approx23,26\%.
  • t_{s}\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_{n}}=\dfrac{4}{(8/19)\cdot19}=\dfrac{4}{8}=0,5\\ \mathrm{s}.
    (Observação: aqui o produto \zeta\omega_{n}=(8/19)\cdot19=8 é exato, por isso t_{s} ficou exatamente 0,5\\ \mathrm{s}.)

Passo 8

Denominador: s^{2}+3s+16. Comparando:
  • \omega_{n}=\sqrt{16}=4\\ \mathrm{rad/s}.
  • \zeta=\dfrac{3}{2\cdot4}=\dfrac{3}{8}=0,375.

Passo 9

  • \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=4\sqrt{1-0,375^{2}}=4\sqrt{1-0,140625}=4\sqrt{0,859375}=4\cdot0,927024\approx3,708096.
  • t_{p}=\dfrac{\pi}{\omega_{d}}=\dfrac{\pi}{3,708096}\approx0,8476\\ \mathrm{s}.
  • M_{p}=e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} = e^{-\dfrac{\pi\cdot0,375}{0,927024}} \approx e^{-1,2711}\approx0,2803.
    Em porcentagem: M_{p}\approx28,03\%.
  • t_{s}\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_{n}}=\dfrac{4}{0,375\cdot4}=\dfrac{4}{1,5}\approx2,6667\\ \mathrm{s}.

Resposta

G_{1}: \zeta=0,75, \omega_{n}=10\\ \mathrm{rad/s}, t_{p}\approx0,4749\\ \mathrm{s}, M_{p}\approx2,84\%, t_{s}\approx0,5333\\ \mathrm{s}
G_{2}: \zeta=0,4210526 (ou \tfrac{8}{19}), \omega_{n}=19\\ \mathrm{rad/s}, t_{p}\approx0,1824\\ \mathrm{s}, M_{p}\approx23,26\%, t_{s}=0,5\\ \mathrm{s}
G_{3}: \zeta=0,375, \omega_{n}=4\\ \mathrm{rad/s}, t_{p}\approx0,8476\\ \mathrm{s}, M_{p}\approx28,03\%, t_{s}\approx2,6667\\ \mathrm{s}

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