Para a planta G(s)=\frac{40}{s^{3}+11 s^{2}+38 s+40}, sintonize um controlador da família PID, utilizando o método de sintonia de Ziegler-Nichols e que elimine o erro de estado estacionário em malha fechada para uma entrada do tipo degrau unitário. (Valor 2,5).

Passo 1

O enunciado dá a planta
G(s)=\frac{40}{s^{3}+11 s^{2}+38 s+40}
e pede: sintonizar um controlador da família PID usando o método de Ziegler–Nichols (método do ganho último) e garantir que o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário seja eliminado. As informações relevantes que temos são:
\;G(s) conforme acima;
queremos um controlador PID com ação integral (para eliminar erro ao degrau);
devemos usar a sintonia de Ziegler–Nichols baseada em \;K_u (ganho último) e P_u (período último).
A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Resumo do procedimento que vamos aplicar (sem calcular ainda):
  1. Colocar o controlador como ganhador proporcional K puro e fechar a malha unicamente com realimentação unitária; variar K até obter oscilações sustentadas — esse K é o ganho último K_u e a frequência da oscilação fornece P_u.
  2. Para encontrar K_u e P_u analiticamente usamos o critério de Routh–Hurwitz na característica fechada 1+K G(s)=0. Vou explicar e executar o Routh passo a passo.

Passo 3

Formamos o polinômio do denominador da malha fechada com ganho proporcional K. A equação característica é
1+K\,G(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{3}+11 s^{2}+38 s+40+40K=0.
Ou seja, o polinômio característico é
\Delta(s)=s^{3}+11 s^{2}+38 s+40(1+K).
Agora montamos a tabela de Routh para \Delta(s). Lembre que, para um polinômio a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0, a primeira duas linhas são
s^3: a_3 \quad a_1
s^2: a_2 \quad a_0
No nosso caso a_3=1, a_2=11, a_1=38, a_0=40(1+K).

Passo 4

Construção explícita das entradas da tabela de Routh:
Linha s^3: 1 \quad 38
Linha s^2: 11 \quad 40(1+K)
A entrada da linha s^1 (chamei de b_1) é dada por
b_1=\frac{11\cdot 38 - 1\cdot 40(1+K)}{11}.
Faço as contas no numerador passo a passo:
11\cdot 38 = 418,
então
b_1=\frac{418-40(1+K)}{11}=\frac{418-40-40K}{11}=\frac{378-40K}{11}.
A linha s^0 é simplesmente 40(1+K).
Para que exista uma oscilação sustentada (marginalmente estável), a linha s^1 deve virar zero (caso típico detectado pelo método de Routh). Então imponho b_1=0 e resolvo para K:
378-40K=0 \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{378}{40}=9{,}45.
Portanto o ganho último é
K_u=9{,}45.

Passo 5

Com K=K_u a linha s^1 é zero, então a equação auxiliar vem da linha s^2, que é a equação em s de grau 2:
11 s^{2}+40(1+K_u)=0.
Calculo 1+K_u=1+9{,}45=10{,}45 e 40(1+K_u)=40\cdot 10{,}45=418. Assim a equação auxiliar é
11 s^{2}+418=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}=-\frac{418}{11}=-38.
Logo as raízes são s=\pm j\sqrt{38}. A frequência angular da oscilação é
\omega_u=\sqrt{38}\approx 6{,}164414.
O período último P_u é
P_u=\frac{2\pi}{\omega_u}=\frac{2\pi}{\sqrt{38}}\approx 1{,}0193\\ \text{s}.

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas clássicas de Ziegler–Nichols (tabela para controlador PID usando K_u e P_u):
Para PID (forma clássica)
K_p = 0{,}6\,K_u,\qquad T_i = 0{,}5\,P_u,\qquad T_d = 0{,}125\,P_u.
Substituindo K_u=9{,}45 e P_u\approx 1{,}0193:
K_p = 0{,}6\cdot 9{,}45 = 5{,}67,
T_i = 0{,}5\cdot 1{,}0193 \approx 0{,}5096\\ \text{s},
T_d = 0{,}125\cdot 1{,}0193 \approx 0{,}1274\\ \text{s}.
O controlador na forma série padrão é
C(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right).

Passo 7

É útil dar também os ganhos na forma paralela (constantes K_i e K_d) porque às vezes a implementação pede \;K_i=\frac{K_p}{T_i} e \;K_d=K_p T_d. Calculo:
K_i=\frac{K_p}{T_i}\approx\frac{5{,}67}{0{,}5096}\approx 11{,}13,
K_d=K_p T_d \approx 5{,}67\cdot 0{,}1274 \approx 0{,}722.

Passo 8

Interpretação e verificação do requisito de erro em regime permanente: como estamos projetando um PID com ação integral ( T_i finito), a malha fechada com esse controlador elimina o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário (a ação integral anula o erro estacionário para referência do tipo degrau). Portanto o requisito do enunciado está atendido.

Resposta

K_p=5{,}67,\;T_i=0{,}5096\\ \text{s},\;T_d=0{,}1274\\ \text{s}.
K_i\approx 11{,}13,\;K_d\approx 0{,}722.

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