Para a planta
, sintonize um controlador da família PID, utilizando o método de sintonia de Ziegler-Nichols e que elimine o erro de estado estacionário em malha fechada para uma entrada do tipo degrau unitário. (Valor 2,5).
Passo 1
O enunciado dá a planta
e pede: sintonizar um controlador da família PID usando o método de Ziegler–Nichols (método do ganho último) e garantir que o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário seja eliminado. As informações relevantes que temos são:
conforme acima;
queremos um controlador PID com ação integral (para eliminar erro ao degrau);
devemos usar a sintonia de Ziegler–Nichols baseada em (ganho último) e
(período último).
A resolução efetiva começa no Passo 2.
queremos um controlador PID com ação integral (para eliminar erro ao degrau);
devemos usar a sintonia de Ziegler–Nichols baseada em
A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Resumo do procedimento que vamos aplicar (sem calcular ainda):
- Colocar o controlador como ganhador proporcional
puro e fechar a malha unicamente com realimentação unitária; variar até obter oscilações sustentadas — esse é o ganho último e a frequência da oscilação fornece . - Para encontrar
e analiticamente usamos o critério de Routh–Hurwitz na característica fechada . Vou explicar e executar o Routh passo a passo.
Passo 3
Formamos o polinômio do denominador da malha fechada com ganho proporcional
. A equação característica é
Ou seja, o polinômio característico é
Agora montamos a tabela de Routh para
. Lembre que, para um polinômio
, a primeira duas linhas são
s^3: \quad
s^2: \quad
No nosso caso ,
,
,
.
s^3:
s^2:
No nosso caso
Passo 4
Construção explícita das entradas da tabela de Routh:
Linha :
\quad
Linha :
\quad
Linha
Linha
A entrada da linha
(chamei de
) é dada por
Faço as contas no numerador passo a passo:
então
A linha
é simplesmente
.
Para que exista uma oscilação sustentada (marginalmente estável), a linha
deve virar zero (caso típico detectado pelo método de Routh). Então imponho
e resolvo para
:
Portanto o ganho último é
Passo 5
Com
a linha
é zero, então a equação auxiliar vem da linha
, que é a equação em
de grau 2:
Calculo
e
. Assim a equação auxiliar é
Logo as raízes são
. A frequência angular da oscilação é
O período último
é
Passo 6
Agora aplicamos as fórmulas clássicas de Ziegler–Nichols (tabela para controlador PID usando
e
):
Para PID (forma clássica)
Para PID (forma clássica)
Substituindo
e
:
O controlador na forma série padrão é
Passo 7
É útil dar também os ganhos na forma paralela (constantes
e
) porque às vezes a implementação pede
e
. Calculo:
Passo 8
Interpretação e verificação do requisito de erro em regime permanente: como estamos projetando um PID com ação integral (
finito), a malha fechada com esse controlador elimina o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário (a ação integral anula o erro estacionário para referência do tipo degrau). Portanto o requisito do enunciado está atendido.