Determine a função de transferência de um sistema de segunda ordem que resulta em uma ultrapassagem de 15% e um tempo de acomodação de 0,7 segundo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função de transferência de um sistema de segunda ordem que apresenta ultrapassagem (overshoot) de 15% e tempo de acomodação de 0,7 s.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
M_p = 0{,}15
T_s = 0{,}7\\ \text{s}

Passo 2

Vamos trabalhar com o modelo padrão de um sistema de segunda ordem subamortecido, muito usado em prova e que gera ultrapassagem. A forma canônica da função de transferência (com ganho DC unitário) é:
G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}
Explicando as variáveis:
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (adimensional), controla a ultrapassagem e a atenuação das oscilações;
  • \omega_n é a frequência natural (em rad/s), controla a rapidez da resposta;
  • M_p e T_s são dados que relacionam \zeta e \omega_n por fórmulas padrão (que vamos usar a seguir).

Passo 3

Fórmula que liga ultrapassagem máxima M_p ao amortecimento \zeta:
M_p = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}
Essa fórmula vem da resposta ao degrau de um sistema subamortecido: a primeira máxima relativa tem esse valor relativo ao regime permanente. Para encontrar \zeta fazemos logaritmo e manipulamos algebricamente:
\ln(M_p) = -\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}
Elevando ao quadrado e isolando \zeta^{2} obtemos a forma direta
\zeta^{2}=\frac{\big(\ln(M_p)\big)^{2}}{\pi^{2}+\big(\ln(M_p)\big)^{2}}.
Esta expressão é útil porque evita resolver numericamente a equação transcendental diretamente.

Passo 4

Agora substituímos M_p=0{,}15. Primeiro calculemos \ln(M_p):
\ln(0{,}15)\approx -1{,}897119985
Portanto
\big(\ln(M_p)\big)^{2}\approx 1{,}897119985^{2}\approx 3{,}599
Substituindo na fórmula de \zeta^{2}:
\zeta^{2}=\frac{3{,}599}{\pi^{2}+3{,}599}=\frac{3{,}599}{9{,}8696+3{,}599}\approx\frac{3{,}599}{13{,}4686}\approx 0{,}2673
Logo
\zeta\approx\sqrt{0{,}2673}\approx 0{,}517.

Passo 5

Agora precisamos de \omega_n. Para isso usamos a relação entre tempo de acomodação T_s, \zeta e \omega_n. Aqui temos que escolher a convenção de tempo de acomodação: a mais comum em controle é o critério dos 2%, que dá a aproximação
T_s \approx \frac{4}{\zeta \,\omega_n}.
(Se a prova usar 5% o fator muda para 3/(\zeta\omega_n); como o enunciado não disse, usamos a convenção padrão dos 2%.)

Passo 6

Isolando \omega_n na fórmula do tempo de acomodação:
\omega_n \approx \frac{4}{\zeta\,T_s}.
Substituindo \zeta\approx 0{,}517 e T_s=0{,}7\\ \text{s}:
\omega_n \approx \frac{4}{0{,}517\cdot 0{,}7}=\frac{4}{0{,}3619}\approx 11{,}05\\ \text{rad/s}.

Passo 7

Agora calculemos os coeficientes do polinômio característico para escrever G(s) numericamente. Precisamos de \omega_n^{2} e de 2\zeta\omega_n:
\omega_n^{2}\approx 11{,}05^{2}\approx 122{,}1
2\zeta\omega_n \approx 2\cdot 0{,}517\cdot 11{,}05 \approx 11{,}43
Portanto a função de transferência no formato canônico numérico fica:
G(s)=\frac{122{,}1}{s^{2}+11{,}43\,s+122{,}1}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: obtivemos um sistema subamortecido com \zeta\approx 0{,}517 (que produz a ultrapassagem de 15%) e \omega_n\approx 11{,}05\\ \text{rad/s} (que, junto com \zeta, dá o tempo de acomodação de 0,7 s pelo critério de 2%). Pronto — essa é a função de transferência que atende as especificações dadas no enunciado (na forma canônica unitária).

Resposta

G(s)=\frac{122{,}1}{s^{2}+11{,}43\,s+122{,}1}

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