Determine a função de transferência de um sistema de segunda ordem que resulta em uma ultrapassagem de 15% e um tempo de acomodação de 0,7 segundo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função de transferência de um sistema de segunda ordem que apresenta ultrapassagem (overshoot) de 15% e tempo de acomodação de 0,7 s.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
Passo 2
Vamos trabalhar com o modelo padrão de um sistema de segunda ordem subamortecido, muito usado em prova e que gera ultrapassagem. A forma canônica da função de transferência (com ganho DC unitário) é:
Explicando as variáveis:
-
é o coeficiente de amortecimento (adimensional), controla a ultrapassagem e a atenuação das oscilações; -
é a frequência natural (em rad/s), controla a rapidez da resposta; -
e são dados que relacionam e por fórmulas padrão (que vamos usar a seguir).
Passo 3
Fórmula que liga ultrapassagem máxima
ao amortecimento
:
Essa fórmula vem da resposta ao degrau de um sistema subamortecido: a primeira máxima relativa tem esse valor relativo ao regime permanente. Para encontrar
fazemos logaritmo e manipulamos algebricamente:
Elevando ao quadrado e isolando
obtemos a forma direta
Esta expressão é útil porque evita resolver numericamente a equação transcendental diretamente.
Passo 4
Agora substituímos
. Primeiro calculemos
:
Portanto
Substituindo na fórmula de
:
Logo
Passo 5
Agora precisamos de
. Para isso usamos a relação entre tempo de acomodação
,
e
. Aqui temos que escolher a convenção de tempo de acomodação: a mais comum em controle é o critério dos 2%, que dá a aproximação
(Se a prova usar 5% o fator muda para
; como o enunciado não disse, usamos a convenção padrão dos 2%.)
Passo 6
Isolando
na fórmula do tempo de acomodação:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora calculemos os coeficientes do polinômio característico para escrever
numericamente. Precisamos de
e de
:
Portanto a função de transferência no formato canônico numérico fica:
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: obtivemos um sistema subamortecido com
(que produz a ultrapassagem de 15%) e
(que, junto com
, dá o tempo de acomodação de 0,7 s pelo critério de 2%). Pronto — essa é a função de transferência que atende as especificações dadas no enunciado (na forma canônica unitária).