Para a planta
, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida
;
b. Tempo de acomodação (na faixa de
)
;
c. Overshoot < 5%;
d. Erro de estado estacionário
.
a. Tempo de subida
b. Tempo de acomodação (na faixa de
c. Overshoot < 5%;
d. Erro de estado estacionário
Passo 1
O enunciado pede que eu projete um controlador da família PID para a planta
de modo que, para uma entrada degrau de amplitude
, o sistema em malha fechada satisfaça:
- Tempo de subida
; - Tempo de acomodação (2%)
; - Overshoot
; - Erro em regime permanente
.
Informações relevantes dadas:
- A planta é
. - A entrada é um degrau de amplitude
(sistema linear: o ganho do degrau só escala a resposta). - Deseja-se um controlador PID (ou seja, com ganho proporcional
, integrador e derivativo ). - O requisito
indica que o laço deve ter tipo (integrador no controlador).
Passo 2
Analisando a planta e a necessidade do integrador:
- Factorizo o denominador:
. Logo a planta tem polos em e (estável) e é de tipo 0 (sem integrador). - Para garantir
a um degrau, o sistema em malha fechada deve ser do tipo 1 (ter um integrador). Assim o controlador precisa conter um termo integrador ( ). Portanto escolho um controlador PID genérico:
Passo 3
Traduzindo requisitos de tempo para parâmetros de um segundo-ordem aproximado:
- Para sistemas subamortecidos de segunda ordem, o overshoot percentual está relacionado ao coeficiente de amortecimento
por:
Queremos
. Resolvendo aproximadamente para
:
isso dá
. Para ser mais seguro escolho
(um pouco maior).
- O tempo de acomodação (2%) para um segundo-ordem aproximado é
Queremos
, então precisamos de
. Com
obtemos
.
- O tempo de subida (0–100%) tem uma regra prática aproximada
e para
precisamos de
. A restrição de
domina, então tomamos
baseado nela.
- Para margem e conforto num projeto prático, escolho
Com esses valores:
e o overshoot:
Assim
e
atendem os requisitos desejados.
Passo 4
Defino os pólos dominantes desejados (pares complexos conjugados) a partir de
e
:
Vou posicionar o terceiro polo real mais à esquerda (mais rápido) para que os dois complexos dominem a resposta. Escolho, por simplicidade e prática de projeto, o terceiro polo em
Motivação: colocar
com parte real cerca de
a
vezes maior em módulo que
garante que o par complexo seja dominante.
Passo 5
Característica da malha fechada com
em unidade de realimentação:
A função de ciclo aberto é e a equação característica é
A função de ciclo aberto é
Com
e
, multiplicando por
obtemos o polinômio característico:
Passo 6
Vou igualar esse polinômio ao polinômio que tem como raízes
. Sejam
. O polinômio desejado é
Comparando termo a termo com
obtemos as igualdades:
Agora usamos as simplificações para pares complexos conjugados:
Com
temos:
Passo 7
Agora calculo os ganhos
usando as igualdades:
- De
segue
- De
segue
- De
segue
Logo o controlador PID projetado é
Passo 8
Verificação rápida dos requisitos:
- Os polos dominantes escolhidos implicam
e , então:
- Como o controlador tem integrador (
), o sistema em malha fechada é tipo 1 e, para um degrau (qualquer amplitude, inclusive ), o erro em regime permanente será . - Observação prática: os ganhos obtidos são relativamente grandes; na implementação real pode ser necessário aplicar filtragem no termo derivativo (ex.: usar
) e técnicas de anti-windup para o integrador. Se necessário, pode-se ajustar levemente (tornando-o mais à esquerda) para reduzir -s ou melhorar margem de estabilidade.