Para a planta G(s)=\frac{1}{s^{2}+9 s+20}, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida (0-100 \%)<0,5 \mathrm{~s};
b. Tempo de acomodação (na faixa de 2 \% ) <1,0 \mathrm{~s};
c. Overshoot < 5%;
d. Erro de estado estacionário e_{s s}=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu projete um controlador da família PID para a planta
G(s)=\frac{1}{s^{2}+9s+20}
de modo que, para uma entrada degrau de amplitude 2{,}5, o sistema em malha fechada satisfaça:
  1. Tempo de subida (0\text{–}100\%)<0{,}5\\ \text{s};
  2. Tempo de acomodação (2%) <1{,}0\\ \text{s};
  3. Overshoot <5\%;
  4. Erro em regime permanente e_{ss}=0.
Informações relevantes dadas:
  • A planta é \displaystyle G(s)=\frac{1}{s^{2}+9s+20}.
  • A entrada é um degrau de amplitude 2{,}5 (sistema linear: o ganho do degrau só escala a resposta).
  • Deseja-se um controlador PID (ou seja, com ganho proporcional K_{p}, integrador K_{i} e derivativo K_{d}).
  • O requisito e_{ss}=0 indica que o laço deve ter tipo \ge 1 (integrador no controlador).

Passo 2

Analisando a planta e a necessidade do integrador:
  • Factorizo o denominador: s^{2}+9s+20=(s+5)(s+4). Logo a planta tem polos em s=-4 e s=-5 (estável) e é de tipo 0 (sem integrador).
  • Para garantir e_{ss}=0 a um degrau, o sistema em malha fechada deve ser do tipo 1 (ter um integrador). Assim o controlador precisa conter um termo integrador ( K_{i}\ne0). Portanto escolho um controlador PID genérico:
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}s=\frac{K_{d}s^{2}+K_{p}s+K_{i}}{s}.

Passo 3

Traduzindo requisitos de tempo para parâmetros de um segundo-ordem aproximado:
  • Para sistemas subamortecidos de segunda ordem, o overshoot percentual está relacionado ao coeficiente de amortecimento \zeta por:
\text{PO}=\exp\!\Big(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Big).
Queremos \text{PO}<5\%. Resolvendo aproximadamente para \zeta:
\exp\!\Big(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Big)=0{,}05
isso dá \zeta\approx 0{,}69. Para ser mais seguro escolho \zeta=0{,}7 (um pouco maior).
  • O tempo de acomodação (2%) para um segundo-ordem aproximado é
t_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_{n}}.
Queremos t_{s}<1{,}0\\ \text{s}, então precisamos de \zeta\omega_{n}>4. Com \zeta=0{,}7 obtemos \omega_{n}>4/0{,}7\approx 5{,}714\\ \text{rad/s}.
  • O tempo de subida (0–100%) tem uma regra prática aproximada
t_{r}\approx\frac{1{,}8}{\omega_{n}},
e para t_{r}<0{,}5\\ \text{s} precisamos de \omega_{n}>1{,}8/0{,}5=3{,}6\\ \text{rad/s}. A restrição de t_{s} domina, então tomamos \omega_{n} baseado nela.
  • Para margem e conforto num projeto prático, escolho
\zeta=0{,}7,\qquad \omega_{n}=6\\ \text{rad/s}.
Com esses valores:
t_{s}\approx\frac{4}{0{,}7\cdot 6}\approx0{,}952\\ \text{s}<1{,}0\\ \text{s},
t_{r}\approx\frac{1{,}8}{6}=0{,}3\\ \text{s}<0{,}5\\ \text{s},
e o overshoot:
\text{PO}=\exp\!\Big(-\frac{0{,}7\pi}{\sqrt{1-0{,}7^{2}}}\Big)\approx4{,}6\%<5\%.
Assim \zeta=0{,}7 e \omega_{n}=6 atendem os requisitos desejados.

Passo 4

Defino os pólos dominantes desejados (pares complexos conjugados) a partir de \zeta e \omega_{n}:
s_{1,2}=-\zeta\omega_{n}\pm j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=-4{,}2\pm j\,4{,}284.
Vou posicionar o terceiro polo real mais à esquerda (mais rápido) para que os dois complexos dominem a resposta. Escolho, por simplicidade e prática de projeto, o terceiro polo em
r_{3}=-10.
Motivação: colocar r_{3} com parte real cerca de 2 a 3 vezes maior em módulo que |\Re(s_{1,2})| garante que o par complexo seja dominante.

Passo 5

Característica da malha fechada com C(s) em unidade de realimentação:
A função de ciclo aberto é C(s)G(s) e a equação característica é
1+C(s)G(s)=0.
Com C(s)=\dfrac{K_{d}s^{2}+K_{p}s+K_{i}}{s} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+9s+20}, multiplicando por s(s^{2}+9s+20) obtemos o polinômio característico:
s^{3}+(9+K_{d})s^{2}+(20+K_{p})s+K_{i}=0.

Passo 6

Vou igualar esse polinômio ao polinômio que tem como raízes s_{1},s_{2},r_{3}. Sejam r_{1}=s_{1}, r_{2}=s_{2}. O polinômio desejado é
(s-r_{1})(s-r_{2})(s-r_{3})=s^{3}- (r_{1}+r_{2}+r_{3})s^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})s - r_{1}r_{2}r_{3}.
Comparando termo a termo com s^{3}+(9+K_{d})s^{2}+(20+K_{p})s+K_{i} obtemos as igualdades:
9+K_{d}=-(r_{1}+r_{2}+r_{3}),
20+K_{p}=r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3},
K_{i}=-r_{1}r_{2}r_{3}.
Agora usamos as simplificações para pares complexos conjugados:
r_{1}+r_{2}=-2\zeta\omega_{n}=-8{,}4,
r_{1}r_{2}=\omega_{n}^{2}=36.
Com r_{3}=-10 temos:
r_{1}+r_{2}+r_{3}=-8{,}4+(-10)=-18{,}4,
r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=36 + r_{3}(r_{1}+r_{2})=36+(-10)(-8{,}4)=36+84=120,
r_{1}r_{2}r_{3}=36\cdot(-10)=-360.

Passo 7

Agora calculo os ganhos K_{d},K_{p},K_{i} usando as igualdades:
  • De 9+K_{d}=-(r_{1}+r_{2}+r_{3}) segue
9+K_{d}=18{,}4\quad\Rightarrow\quad K_{d}=9{,}4.
  • De 20+K_{p}=120 segue
K_{p}=100.
  • De K_{i}=-r_{1}r_{2}r_{3} segue
K_{i}=360.
Logo o controlador PID projetado é
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}s=100+\frac{360}{s}+9{,}4\,s.

Passo 8

Verificação rápida dos requisitos:
  • Os polos dominantes escolhidos implicam \zeta=0{,}7 e \omega_{n}=6, então:
t_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_{n}}=\frac{4}{0{,}7\cdot6}\approx0{,}952\\ \text{s}<1{,}0\\ \text{s},
t_{r}\approx\frac{1{,}8}{\omega_{n}}=\frac{1{,}8}{6}=0{,}3\\ \text{s}<0{,}5\\ \text{s},
\text{PO}\approx\exp\!\Big(-\frac{0{,}7\pi}{\sqrt{1-0{,}7^{2}}}\Big)\approx4{,}6\%<5\%.
  • Como o controlador tem integrador ( K_{i}=360\ne0), o sistema em malha fechada é tipo 1 e, para um degrau (qualquer amplitude, inclusive 2{,}5), o erro em regime permanente será e_{ss}=0.
  • Observação prática: os ganhos obtidos são relativamente grandes; na implementação real pode ser necessário aplicar filtragem no termo derivativo (ex.: usar K_{d}\frac{N}{1+N/s}) e técnicas de anti-windup para o integrador. Se necessário, pode-se ajustar levemente r_{3} (tornando-o mais à esquerda) para reduzir K-s ou melhorar margem de estabilidade.

Resposta

C(s)=100+\dfrac{360}{s}+9{,}4\,s

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