Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:

4.1 - Ordem do Sistema:

Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.

4.2 - Zeros do Sistema:

Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

4.3 - Parâmetros Chave:

  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
    4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
W_{4}(s)=\frac{20}{\left(s^{2}+6 s+144\right)}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de função de transferência
W_{4}(s)=\frac{20}{\left(s^{2}+6 s+144\right)}
e pede uma análise detalhada com os seguintes itens:
  • 4.1 Ordem do sistema: identificar se é de primeira, segunda ou ordem superior.
  • 4.2 Zeros do sistema: verificar existência e valores de zeros.
  • 4.3 Parâmetros-chave:
    • Se for de primeira ordem: constante de tempo T e ganho estático K.
    • Se for de segunda ordem: fator de amortecimento \zeta, frequência natural não amortecida \omega_{\mathrm{n}}, tempo de pico t_{\mathrm{p}}, tempo de subida t_{\mathrm{r}}, tempo de assentamento t_{\mathrm{s}} e sobressinal percentual \%\mathrm{UP} (quando aplicável).
  • 4.4 Mapa de polos e zeros: localizar todos os polos e zeros no plano s.
  • 4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Numerador: 20.
  • Denominador: s^{2}+6s+144.

Passo 2

Determinar a ordem do sistema usando o grau do polinômio do denominador.
  • O denominador é um polinômio de grau 2: s^{2}+6s+144.
    Portanto o sistema é de segunda ordem.
    Breve explicação didática: o grau do denominador de uma função de transferência causal típica indica a ordem do sistema dinâmico (quanto maior o grau, maiores são as derivadas que aparecem na equação diferencial do sistema).

Passo 3

Verificar existência de zeros: zeros são raízes do numerador.
  • Numerador é a constante 20, que não tem raiz finita.
    Logo o sistema NÃO possui zeros finitos (podemos dizer “sem zeros” ou “zeros em infinito”).
    Explicando: um zero finito ocorre quando o numerador se anula para algum s. Aqui o numerador é sempre 20\neq0, então não há s que zere o numerador.

Passo 4

Colocar a função de transferência na forma padrão de segunda ordem para identificar \omega_n e \zeta. A forma padrão é
G(s)=\frac{K\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
Comparando o denominador s^{2}+6s+144 com s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2} obtemos as igualdades:
\omega_{n}^{2}=144,\qquad 2\zeta\omega_{n}=6.
Calcule \omega_{n}:
\omega_{n}=\sqrt{144}=12\\ \text{(rad/s)}.
Calcule \zeta:
\zeta=\frac{6}{2\omega_{n}}=\frac{6}{2\cdot 12}=\frac{6}{24}=0{,}25.
Comentário didático: \omega_n é a frequência natural não amortecida (magnitude dos pólos quando \zeta=0); \zeta quantifica o amortecimento relativo (quanto próximo de zero, mais oscilatório).

Passo 5

Determinar o ganho estático (ganho em regime permanente para entrada degrau de amplitude 1). Pode-se avaliar W_4(0):
K_{\text{DC}}=W_{4}(0)=\frac{20}{0^{2}+6\cdot0+144}=\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\approx0{,}138888\ldots
Comentário: para comparar com a forma canônica \dfrac{K\omega_n^2}{\cdots}, note que \omega_n^2=144 e o numerador é 20, então o ganho estático multiplicativo da forma canônica é K=\dfrac{20}{144}=5/36.

Passo 6

Encontrar os polos calculando as raízes do denominador:
s^{2}+6s+144=0\quad\Rightarrow\quad s=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot1\cdot144}}{2}.
Calcule o discriminante:
\Delta=36-576=-540.
Como \Delta<0 temos polos complexos conjugados:
\sqrt{-540}=j\sqrt{540}=j\cdot 6\sqrt{15}\approx j\cdot 23{,}2379.
Logo
s=\frac{-6\pm j\,23{,}2379}{2}=-3\pm j\,11{,}61895.
Verificação da consistência com \zeta e \omega_n: o polo típico de segunda ordem é s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}. Aqui -\zeta\omega_n=-0{,}25\cdot12=-3 e \omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=12\sqrt{1-0{,}0625}=12\cdot0{,}9682458\approx11{,}61895, que coincide com as partes reais e imaginárias encontradas.

Passo 7

Classificação do amortecimento: com \zeta=0{,}25 temos \zeta<1.
Portanto o sistema é subamortecido (underdamped), ou seja, resposta oscilatória amortecida.
Explicando de maneira leve: \zeta<1 → pólos complexos com parte real negativa → oscilações que decaem exponencialmente.

Passo 8

Calcular a frequência amortecida \omega_{\mathrm{d}} (frequência das oscilações no decaimento):
\omega_{\mathrm{d}}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=12\sqrt{1-0{,}25^{2}}=12\sqrt{1-0{,}0625}=12\cdot0{,}9682458\approx11{,}61895\\ \text{(rad/s)}.

Passo 9

Calcular o tempo de pico t_{\mathrm{p}} (tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau) usando
t_{\mathrm{p}}=\frac{\pi}{\omega_{\mathrm{d}}}.
Substituindo:
t_{\mathrm{p}}=\frac{\pi}{11{,}61895}\approx0{,}2703\\ \text{s}.
Didática: o primeiro pico ocorre quando o ângulo da resposta oscilatória completa \pi radianos na frequência amortecida.

Passo 10

Calcular o tempo de subida t_{\mathrm{r}}. Para sistemas subamortecidos, uma expressão comum (tempo entre 0 e primeiro cruzamento do valor final, ou estimativa 0–100%) é
t_{\mathrm{r}}\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_{\mathrm{d}}}.
Calcule \operatorname{arccos}(\zeta)=\operatorname{arccos}(0{,}25)\approx1{,}31811607\\ \text{rad}. Assim
t_{\mathrm{r}}=\frac{\pi-1{,}31811607}{11{,}61895}\approx\frac{1{,}82347658}{11{,}61895}\approx0{,}1569\\ \text{s}.
Observação didática: definições de t_{\mathrm{r}} variam (10–90%, 0–100% etc.); acima foi usada a fórmula clássica para resposta oscilatória de segunda ordem 0–100% aproximada.

Passo 11

Calcular o tempo de assentamento t_{\mathrm{s}}. As convenções mais comuns são:
  • critério de 2\%: t_{\mathrm{s}}\approx\displaystyle\frac{4}{\zeta\omega_{n}},
  • critério de 5\%: t_{\mathrm{s}}\approx\displaystyle\frac{3}{\zeta\omega_{n}}.
    Usando \zeta=0{,}25 e \omega_{n}=12:
t_{\mathrm{s}}(2\%)=\frac{4}{\zeta\omega_{n}}=\frac{4}{0{,}25\cdot 12}=\frac{4}{3}=1{,}3333\\ \text{s}.
t_{\mathrm{s}}(5\%)=\frac{3}{0{,}25\cdot12}=\frac{3}{3}=1{,}0\\ \text{s}.
Comentário: é importante especificar qual critério (2% ou 5%) ao reportar t_{\mathrm{s}}.

Passo 12

Calcular o sobressinal percentual \%\mathrm{UP} (percentual de pico acima do valor final para resposta ao degrau unitário):
Fórmula clássica:
\%\mathrm{UP}=100\exp\!\left(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right)\%.
Substituindo \zeta=0{,}25:
\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{0{,}25\pi}{\sqrt{1-0{,}0625}}=\frac{0{,}25\pi}{0{,}9682458}\approx0{,}8110,
\%\mathrm{UP}=100\cdot e^{-0{,}8110}\%\approx100\cdot 0{,}4443\%\approx44{,}43\%.
Interpretação: a resposta ao degrau ultrapassará o valor final em aproximadamente 44{,}4\%.

Passo 13

Calcular o valor absoluto do pico para uma entrada degrau unitário: o valor final (DC) é K_{\text{DC}}=5/36. O pico absoluto será
y_{\text{peak}}=K_{\text{DC}}\left(1+\frac{\%\mathrm{UP}}{100}\right)=\frac{5}{36}\left(1+0{,}4443\right)=\frac{5}{36}\cdot 1{,}4443\approx0{,}2006.
Interpretação prática: se aplicar um degrau unitário, o sistema converge para cerca de 0{,}1389 no regime e alcança um pico de aproximadamente 0{,}2006 antes de oscilar para o valor final.

Passo 14

Resumo do mapa de polos e zeros (descrição pronta para plotagem no plano s):
  • Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
  • Polos: s_{1,2}=-3\pm j\,11{,}61895.
    Explicação visual a usar no rascunho: marcar dois polos (cruzes) simétricos em relação ao eixo real, com a parte real em -3 e parte imaginária \pm 11{,}61895. Não há zeros a marcar.

Passo 15

Comentário prático final e interpretação para prova:
  • Sistema de segunda ordem sem zeros, com \omega_{n}=12 rad/s e \zeta=0{,}25. Isso significa resposta oscilatória com frequência de oscilação amortecida \omega_{d}\approx11{,}619 rad/s.
  • Ganho estático é pequeno: K_{\text{DC}}=5/36\approx0{,}1389, então o efeito em regime permanente de um degrau unitário é limitado.
  • Parâmetros temporais importantes (usar os valores calculados rapidamente na prova):
    • t_{\mathrm{p}}\approx0{,}2703\\ \text{s},
    • t_{\mathrm{r}}\approx0{,}1569\\ \text{s} (definição 0–100% aproximada),
    • t_{\mathrm{s}}\approx1{,}3333\\ \text{s} (critério 2%) ou 1{,}0\\ \text{s} (critério 5%),
    • \%\mathrm{UP}\approx44{,}43\%.
  • Classificação do amortecimento: subamortecido (oscilações amortecidas).

Resposta

4.1 Ordem: segunda ordem.
4.2 Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
4.3 Parâmetros-chave:
\zeta=0{,}25
\omega_{\mathrm{n}}=12\\ \text{rad/s}
Ganho estático K_{\text{DC}}=\dfrac{5}{36}\approx0{,}1388889
Tempo de pico t_{\mathrm{p}}\approx0{,}2703\\ \text{s}
Tempo de subida t_{\mathrm{r}}\approx0{,}1569\\ \text{s} (estimativa 0–100%)
Tempo de assentamento t_{\mathrm{s}}(2\%)\approx1{,}3333\\ \text{s} (ou t_{\mathrm{s}}(5\%)\approx1{,}0\\ \text{s})
Sobressinal percentual \%\mathrm{UP}\approx44{,}43\%
4.4 Mapa de polos e zeros:
Polos: s=-3\pm j\,11{,}61895
Zeros: nenhum
4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido (underdamped).

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