Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:
4.1 - Ordem do Sistema:
Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.
4.2 - Zeros do Sistema:
Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.
4.3 - Parâmetros Chave:
- Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
- Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida
, o tempo de pico (
), o tempo de subida (
), o tempo de assentamento (
) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de função de transferência
e pede uma análise detalhada com os seguintes itens:
- 4.1 Ordem do sistema: identificar se é de primeira, segunda ou ordem superior.
- 4.2 Zeros do sistema: verificar existência e valores de zeros.
- 4.3 Parâmetros-chave:
- Se for de primeira ordem: constante de tempo
e ganho estático . - Se for de segunda ordem: fator de amortecimento
, frequência natural não amortecida , tempo de pico , tempo de subida , tempo de assentamento e sobressinal percentual (quando aplicável).
- Se for de primeira ordem: constante de tempo
- 4.4 Mapa de polos e zeros: localizar todos os polos e zeros no plano
. - 4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
Determinar a ordem do sistema usando o grau do polinômio do denominador.
- O denominador é um polinômio de grau
: .
Portanto o sistema é de segunda ordem.
Breve explicação didática: o grau do denominador de uma função de transferência causal típica indica a ordem do sistema dinâmico (quanto maior o grau, maiores são as derivadas que aparecem na equação diferencial do sistema).
Passo 3
Verificar existência de zeros: zeros são raízes do numerador.
- Numerador é a constante
, que não tem raiz finita.
Logo o sistema NÃO possui zeros finitos (podemos dizer “sem zeros” ou “zeros em infinito”).
Explicando: um zero finito ocorre quando o numerador se anula para algum. Aqui o numerador é sempre , então não há que zere o numerador.
Passo 4
Colocar a função de transferência na forma padrão de segunda ordem para identificar
e
. A forma padrão é
Comparando o denominador
com
obtemos as igualdades:
Calcule
:
Calcule
:
Comentário didático:
é a frequência natural não amortecida (magnitude dos pólos quando
);
quantifica o amortecimento relativo (quanto próximo de zero, mais oscilatório).
Passo 5
Determinar o ganho estático (ganho em regime permanente para entrada degrau de amplitude 1). Pode-se avaliar
:
Comentário: para comparar com a forma canônica
, note que
e o numerador é
, então o ganho estático multiplicativo da forma canônica é
.
Passo 6
Encontrar os polos calculando as raízes do denominador:
Calcule o discriminante:
Como
temos polos complexos conjugados:
Logo
Verificação da consistência com
e
: o polo típico de segunda ordem é
. Aqui
e
, que coincide com as partes reais e imaginárias encontradas.
Passo 7
Classificação do amortecimento: com
temos
.
Portanto o sistema é subamortecido (underdamped), ou seja, resposta oscilatória amortecida.
Explicando de maneira leve: → pólos complexos com parte real negativa → oscilações que decaem exponencialmente.
Portanto o sistema é subamortecido (underdamped), ou seja, resposta oscilatória amortecida.
Explicando de maneira leve:
Passo 8
Calcular a frequência amortecida
(frequência das oscilações no decaimento):
Passo 9
Calcular o tempo de pico
(tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau) usando
Substituindo:
Didática: o primeiro pico ocorre quando o ângulo da resposta oscilatória completa
radianos na frequência amortecida.
Passo 10
Calcular o tempo de subida
. Para sistemas subamortecidos, uma expressão comum (tempo entre 0 e primeiro cruzamento do valor final, ou estimativa 0–100%) é
Calcule
. Assim
Observação didática: definições de
variam (10–90%, 0–100% etc.); acima foi usada a fórmula clássica para resposta oscilatória de segunda ordem 0–100% aproximada.
Passo 11
Calcular o tempo de assentamento
. As convenções mais comuns são:
- critério de
: , - critério de
: .
Usandoe :
Comentário: é importante especificar qual critério (2% ou 5%) ao reportar
.
Passo 12
Calcular o sobressinal percentual
(percentual de pico acima do valor final para resposta ao degrau unitário):
Fórmula clássica:
Fórmula clássica:
Substituindo
:
Interpretação: a resposta ao degrau ultrapassará o valor final em aproximadamente
.
Passo 13
Calcular o valor absoluto do pico para uma entrada degrau unitário: o valor final (DC) é
. O pico absoluto será
Interpretação prática: se aplicar um degrau unitário, o sistema converge para cerca de
no regime e alcança um pico de aproximadamente
antes de oscilar para o valor final.
Passo 14
Resumo do mapa de polos e zeros (descrição pronta para plotagem no plano
):
- Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
- Polos:
.
Explicação visual a usar no rascunho: marcar dois polos (cruzes) simétricos em relação ao eixo real, com a parte real eme parte imaginária . Não há zeros a marcar.
Passo 15
Comentário prático final e interpretação para prova:
- Sistema de segunda ordem sem zeros, com
rad/s e . Isso significa resposta oscilatória com frequência de oscilação amortecida rad/s. - Ganho estático é pequeno:
, então o efeito em regime permanente de um degrau unitário é limitado. - Parâmetros temporais importantes (usar os valores calculados rapidamente na prova):
-
, -
(definição 0–100% aproximada), -
(critério 2%) ou (critério 5%), -
.
-
- Classificação do amortecimento: subamortecido (oscilações amortecidas).
Resposta
4.1 Ordem: segunda ordem.
4.2 Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
4.3 Parâmetros-chave:
Ganho estático
Tempo de pico
Tempo de subida (estimativa 0–100%)
Tempo de assentamento (ou
)
Sobressinal percentual
Ganho estático
Tempo de pico
Tempo de subida
Tempo de assentamento
Sobressinal percentual
4.4 Mapa de polos e zeros:
Polos:
Zeros: nenhum
Polos:
Zeros: nenhum
4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido (underdamped).