Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:
4.1 - Ordem do Sistema:
Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.
4.2 - Zeros do Sistema:
Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.
4.3 - Parâmetros Chave:
- Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
- Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida
, o tempo de pico (
), o tempo de subida (
), o tempo de assentamento (
) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumo claro, peguei tudo do enunciado):
- Sistema fornecido:
. - Perguntas a responder (cada item pedido):
- 4.1 Ordem do sistema: identificar ordem.
- 4.2 Zeros do sistema: existem? quais?
- 4.3 Parâmetros chave:
- se 1a ordem: constante de tempo
e ganho estático ; - se 2a ordem: fator de amortecimento
, frequência natural , tempo de pico , tempo de subida , tempo de assentamento , sobressinal percentual (%UP) — quando aplicável.
- se 1a ordem: constante de tempo
- 4.4 Mapa de polos e zeros: localizar polos e zeros no plano
. - 4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
- Observação importante (vai guiar a resolução):
O denominador é , portanto os polos decorrem dessa equação; o numerador é , portanto possivelmente há um zero em .
Passo 2
Ordem do sistema:
- A ordem do sistema é o grau do polinômio do denominador. Aqui o denominador é
, polinômio de grau . - Conclusão:
é um sistema de segunda ordem.
Passo 3
Determinação dos zeros do sistema:
- Zeros são raízes do numerador: resolver
. - Logo o sistema possui um zero simples em
Passo 4
Determinação dos polos do sistema:
- Polos são raízes do denominador: resolver
. - Isso dá
- Portanto há dois polos na imaginação pura:
e .
Passo 5
Extraindo
e
a partir do denominador padrão:
- A forma canônica de um denominador de segunda ordem é
- No nosso caso o termo em
é nulo, então . - Compare com
: - Como
e , conclui-se que - Interpretação: a parte denominadora corresponde a um sistema sem termo de amortecimento; polos puros imaginários indicam resposta oscilatória persistente.
Passo 6
Ganho estático (avaliando em
) e observação sobre aplicabilidade do valor:
- Ganho estático (valor em
):
- Observação sobre significado:
é a avaliação da função de transferência em , mas para um degrau a existência de um valor de regime permanente requerestabilidade assintótica. Como os polos estão em (no eixo imaginário), o sistema é marginalmente estável e não converge para um valor final — portanto o teorema do valor final não fornece um regime permanente finito: o sistema não alcança um único valor de regime permanente para uma entrada degrau (há oscilações permanentes).
Passo 7
Obter a resposta ao degrau (inversa de Laplace) — para poder extrair tempos e máximos concretos:
- Para degrau unitário
, . - Fazer frações parciais: suponha
- Multiplicando e igualando coeficientes obtém-se:
-
, , .
-
- Portanto
- Inverso de Laplace (usando
e ):
- Forma compacta útil:
Passo 8
Tempo de pico
(primeiro máximo) calculado a partir de
:
- Derivada:
- Zerar a derivada para extremos:
- Solução mínima positiva: escreva
(note que ); então a primeira solução positiva é
- Valores numéricos:
-
- Assim
-
Passo 9
Amplitude do primeiro pico e observação sobre sobressinal (%UP):
- Usando identidades trigonométricas com
é útil construir um triângulo: . - Em
temos - Substituindo em
:
- Simplificando observa-se a forma exata
- Comparação com o termo estático
: o pico é maior, mas atenção — o conceito clássico de “% overshoot” pressupõe existência de um valor de regime permanente finito. Aqui o sistema não converge (polos no eixo imaginário), então o parâmetro clássico %UP em relação ao valor final não é aplicável como medida de desempenho (o sistema não atinge um valor final para referência). Se, ainda assim, for calculada uma “sobre-elevação” relativa ao valor DC , obtém-se
- Conclusão didática: o %UP clássico (definido em relação ao valor de regime) não se aplica porque não há valor de regime permanente bem-definido; a quantidade acima é apenas uma comparação numérica com
.
Passo 10
Tempo de subida
e tempo de assentamento
— aplicabilidade e cálculos possíveis:
- Definições comuns:
-
(tempo de subida): tempo para ir de a (ou 0 100%) do valor final. Requer valor final definido. -
(tempo de assentamento): tempo para permanecer dentro de uma banda (2% ou 5%) em torno do valor final (também requer valor final e decaimento).
-
- No nosso caso os polos em
implicam resposta persistente oscilatória; não existe valor final único — portanto as definições padrão de e não se aplicam diretamente. - Entretanto é possível computar tempos úteis relacionados à oscilação:
- Tempo até a primeira vez que
cruza o valor (uma medida de “primeiro cruzamento”): resolver leva a
- Assim o primeiro cruzamento positivo ocorre em
- Tempo até a primeira vez que
- Resumo:
e no sentido clássico não se aplicam (marcados como não aplicáveis porque não há regime).
Passo 11
Mapa de polos e zeros no plano
(descrição clara das localizações):
- Zero:
- em
(no semiplano esquerdo, eixo real).
- em
- Polos:
- em
(no eixo imaginário, acima da origem); - em
(no eixo imaginário, abaixo da origem).
- em
- Visualização verbal:
- zero em
; - polos em
e .
- zero em
Passo 12
Classificação do amortecimento e estabilidade:
- Fator de amortecimento
→ sistema sem amortecimento (undamped). - Classificação: subcategoria especial — sistema sem amortecimento (pólos puramente imaginários).
- Estabilidade:
- O sistema é marginalmente estável (polos no eixo imaginário, simples): respostas a condições iniciais ou entradas geram oscilações sustentadas (não decaem).
- Em termos de estabilidade BIBO estrita, a presença de polos no eixo imaginário significa que o sistema não é assintoticamente estável e, sob a definição rigorosa, não satisfaz as condições usuais de BIBO (pois certas entradas em frequência de ressonância gerariam saída sem limite). Para entradas comuns (como degrau) a saída é limitada mas não converge.
Passo 13
Resumo didático para prova (o que escrever rapidamente e por que é importante):
- Diga logo: “Segunda ordem,
, (sem amortecimento). Zero em . Polos em .” - Explique consequência prática: resposta ao degrau é oscilatória e não converge; calcule
por frações parciais para obter picos e tempos reais quando necessário. - Se pedirem % overshoot padrão, explique que não se aplica por ausência de valor de regime; se insistirem numa comparação com
, forneça o valor calculado (≈180,28%) e justifique que é comparação com , não %UP clássico.
Resposta
Ordem: segunda ordem.
Zeros:
.
Polos:
.
Fator de amortecimento:
.
Frequência natural não amortecida:
Ganho estático (avaliação em
):
.
Resposta ao degrau (expressão):
.
Tempo de pico (primeiro máximo):
Amplitude do primeiro pico:
Tempo de subida e tempo de assentamento (definições clássicas): não se aplicam (sem valor de regime permanente devido a polos no eixo imaginário); nota: primeiro cruzamento do valor
em
Sobressinal percentual clássico (%UP): não aplicável (não há valor final único). Comparação com
:
(apenas comparação numérica, não %UP clássico).
Mapa polos/zeros (localizações): zero em
; polos em
e
.
Classificação do amortecimento e estabilidade: sem amortecimento (
, oscilador puro), marginalmente estável (respostas sustentadas, não assintoticamente estável).