Para cada sistema que será apresentado (de (a) até (f)), realize uma análise detalhada da resposta no tempo. Use as especificações de projeto (ou desempenho) e as características no plano complexo (polos e zeros) para extrair o máximo de informações possível. Siga os passos abaixo:

4.1 - Ordem do Sistema:

Identifique se o sistema é de primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior.

4.2 - Zeros do Sistema:

Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

4.3 - Parâmetros Chave:

  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
    4.4 - Mapa de Polos e Zeros:
No plano complexo (plano S), marque claramente a localização de todos os polos e zeros do sistema.
4.5 - Classificação do Amortecimento:
Classifique o sistema em relação ao seu amortecimento: ele é subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
W_{5}(s)=\frac{s+2}{s^{2}+9}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumo claro, peguei tudo do enunciado):
  • Sistema fornecido: W_{5}(s)=\dfrac{s+2}{s^{2}+9}.
  • Perguntas a responder (cada item pedido):
    • 4.1 Ordem do sistema: identificar ordem.
    • 4.2 Zeros do sistema: existem? quais?
    • 4.3 Parâmetros chave:
      • se 1a ordem: constante de tempo T e ganho estático K;
      • se 2a ordem: fator de amortecimento \zeta, frequência natural \omega_n, tempo de pico t_p, tempo de subida t_r, tempo de assentamento t_s, sobressinal percentual (%UP) — quando aplicável.
    • 4.4 Mapa de polos e zeros: localizar polos e zeros no plano s.
    • 4.5 Classificação do amortecimento: subamortecido, sobreamortecido, criticamente amortecido ou sem amortecimento?
  • Observação importante (vai guiar a resolução): O denominador é s^2+9, portanto os polos decorrem dessa equação; o numerador é s+2, portanto possivelmente há um zero em s=-2.

Passo 2

Ordem do sistema:
  • A ordem do sistema é o grau do polinômio do denominador. Aqui o denominador é s^{2}+9, polinômio de grau 2.
  • Conclusão: W_{5}(s) é um sistema de segunda ordem.

Passo 3

Determinação dos zeros do sistema:
  • Zeros são raízes do numerador: resolver s+2=0.
  • Logo o sistema possui um zero simples em
s=-2.

Passo 4

Determinação dos polos do sistema:
  • Polos são raízes do denominador: resolver s^{2}+9=0.
  • Isso dá
s^{2}=-9\quad\Rightarrow\quad s=\pm 3\mathrm{j}.
  • Portanto há dois polos na imaginação pura: s=+3\mathrm{j} e s=-3\mathrm{j}.

Passo 5

Extraindo \omega_n e \zeta a partir do denominador padrão:
  • A forma canônica de um denominador de segunda ordem é \;s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
  • No nosso caso o termo em s é nulo, então 2\zeta\omega_{n}=0.
  • Compare com s^{2}+9: \omega_{n}^{2}=9\Rightarrow \omega_{n}=3\\ \text{rad/s}.
  • Como 2\zeta\omega_{n}=0 e \omega_{n}=3, conclui-se que \zeta=0.
  • Interpretação: a parte denominadora corresponde a um sistema sem termo de amortecimento; polos puros imaginários indicam resposta oscilatória persistente.

Passo 6

Ganho estático (avaliando em s=0) e observação sobre aplicabilidade do valor:
  • Ganho estático (valor em s=0):
K_{\mathrm{dc}} = W_{5}(0)=\frac{0+2}{0+9}=\frac{2}{9}\approx 0,2222.
  • Observação sobre significado: K_{\mathrm{dc}} é a avaliação da função de transferência em s=0, mas para um degrau a existência de um valor de regime permanente requerestabilidade assintótica. Como os polos estão em \pm 3\mathrm{j} (no eixo imaginário), o sistema é marginalmente estável e não converge para um valor final — portanto o teorema do valor final não fornece um regime permanente finito: o sistema não alcança um único valor de regime permanente para uma entrada degrau (há oscilações permanentes).

Passo 7

Obter a resposta ao degrau (inversa de Laplace) — para poder extrair tempos e máximos concretos:
  • Para degrau unitário R(s)=1/s, Y(s)=\dfrac{s+2}{s(s^{2}+9)}.
  • Fazer frações parciais: suponha
\frac{s+2}{s(s^{2}+9)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+9}.
  • Multiplicando e igualando coeficientes obtém-se:
    • A=\dfrac{2}{9}, B=-\dfrac{2}{9}, C=1.
  • Portanto
Y(s)=\frac{2/9}{s}+\frac{-\tfrac{2}{9}s+1}{s^{2}+9}.
  • Inverso de Laplace (usando \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+\omega^{2})\}=\cos(\omega t) e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+\omega^{2})\}=\tfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)):
y(t)=\frac{2}{9}-\frac{2}{9}\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t),\qquad t>0.
  • Forma compacta útil:
y(t)=\frac{2}{9}\big(1-\cos(3t)\big)+\frac{1}{3}\sin(3t).

Passo 8

Tempo de pico t_{p} (primeiro máximo) calculado a partir de y(t):
  • Derivada:
y'(t)=\frac{2}{3}\sin(3t)+\cos(3t).
  • Zerar a derivada para extremos:
\cos(3t)+\frac{2}{3}\sin(3t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tan(3t)=-\frac{3}{2}.
  • Solução mínima positiva: escreva \theta=\arctan\!\left(\tfrac{3}{2}\right) (note que \arctan(-3/2)=-\theta); então a primeira solução positiva é
3t_{p}=\pi-\theta\quad\Rightarrow\quad t_{p}=\frac{\pi-\arctan(3/2)}{3}.
  • Valores numéricos:
    • \arctan\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 0,9827937233\\ \text{rad}.
    • Assim
    t_{p}\approx\frac{3{,}1415926536-0{,}9827937233}{3}\approx 0{,}7195996434\\ \text{s}.

Passo 9

Amplitude do primeiro pico e observação sobre sobressinal (%UP):
  • Usando identidades trigonométricas com \theta=\arctan(3/2) é útil construir um triângulo: \sin\theta=\dfrac{3}{\sqrt{13}},\\ \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}.
  • Em t_{p} temos 3t_{p}=\pi-\theta\Rightarrow \cos(3t_{p})=-\cos\theta=-\dfrac{2}{\sqrt{13}},\\ \sin(3t_{p})=\sin\theta=\dfrac{3}{\sqrt{13}}.
  • Substituindo em y(t):
y(t_{p})=\frac{2}{9}-\frac{2}{9}\Big(-\frac{2}{\sqrt{13}}\Big)+\frac{1}{3}\Big(\frac{3}{\sqrt{13}}\Big) =\frac{2}{9}+\frac{4}{9\sqrt{13}}+\frac{1}{\sqrt{13}}.
  • Simplificando observa-se a forma exata
y(t_{p})=\frac{2+\sqrt{13}}{9}\approx 0{,}62283.
  • Comparação com o termo estático K_{\mathrm{dc}}=2/9\approx0{,}22222: o pico é maior, mas atenção — o conceito clássico de “% overshoot” pressupõe existência de um valor de regime permanente finito. Aqui o sistema não converge (polos no eixo imaginário), então o parâmetro clássico %UP em relação ao valor final não é aplicável como medida de desempenho (o sistema não atinge um valor final para referência). Se, ainda assim, for calculada uma “sobre-elevação” relativa ao valor DC 2/9, obtém-se
\%\text{(sobre DC)}=\frac{y(t_{p})-K_{\mathrm{dc}}}{K_{\mathrm{dc}}}\times100\% =\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)\times100\%\approx180{,}28\%.
  • Conclusão didática: o %UP clássico (definido em relação ao valor de regime) não se aplica porque não há valor de regime permanente bem-definido; a quantidade acima é apenas uma comparação numérica com K_{\mathrm{dc}}.

Passo 10

Tempo de subida t_{r} e tempo de assentamento t_{s} — aplicabilidade e cálculos possíveis:
  • Definições comuns:
    • t_{r} (tempo de subida): tempo para ir de 10\% a 90\% (ou 0 \to100%) do valor final. Requer valor final definido.
    • t_{s} (tempo de assentamento): tempo para permanecer dentro de uma banda (2% ou 5%) em torno do valor final (também requer valor final e decaimento).
  • No nosso caso os polos em \pm 3\mathrm{j} implicam resposta persistente oscilatória; não existe valor final único — portanto as definições padrão de t_{r} e t_{s} não se aplicam diretamente.
  • Entretanto é possível computar tempos úteis relacionados à oscilação:
    • Tempo até a primeira vez que y(t) cruza o valor K_{\mathrm{dc}}=2/9 (uma medida de “primeiro cruzamento”): resolver y(t)=2/9 leva a
    -\frac{2}{9}\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t)=0 \quad\Rightarrow\quad \tan(3t)=\frac{2}{3}.
    • Assim o primeiro cruzamento positivo ocorre em
    t=\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx 0{,}19600\\ \text{s}.
  • Resumo: t_{r} e t_{s} no sentido clássico não se aplicam (marcados como não aplicáveis porque não há regime).

Passo 11

Mapa de polos e zeros no plano s (descrição clara das localizações):
  • Zero:
    • em s=-2 (no semiplano esquerdo, eixo real).
  • Polos:
    • em s=+3\mathrm{j} (no eixo imaginário, acima da origem);
    • em s=-3\mathrm{j} (no eixo imaginário, abaixo da origem).
  • Visualização verbal:
    • zero em (-2,\,0);
    • polos em (0,\,3) e (0,\,-3).

Passo 12

Classificação do amortecimento e estabilidade:
  • Fator de amortecimento \zeta=0 → sistema sem amortecimento (undamped).
  • Classificação: subcategoria especial — sistema sem amortecimento (pólos puramente imaginários).
  • Estabilidade:
    • O sistema é marginalmente estável (polos no eixo imaginário, simples): respostas a condições iniciais ou entradas geram oscilações sustentadas (não decaem).
    • Em termos de estabilidade BIBO estrita, a presença de polos no eixo imaginário significa que o sistema não é assintoticamente estável e, sob a definição rigorosa, não satisfaz as condições usuais de BIBO (pois certas entradas em frequência de ressonância gerariam saída sem limite). Para entradas comuns (como degrau) a saída é limitada mas não converge.

Passo 13

Resumo didático para prova (o que escrever rapidamente e por que é importante):
  • Diga logo: “Segunda ordem, \omega_n=3\\ \mathrm{rad/s}, \zeta=0 (sem amortecimento). Zero em s=-2. Polos em s=\pm 3\mathrm{j}.”
  • Explique consequência prática: resposta ao degrau é oscilatória e não converge; calcule y(t) por frações parciais para obter picos e tempos reais quando necessário.
  • Se pedirem % overshoot padrão, explique que não se aplica por ausência de valor de regime; se insistirem numa comparação com K_{\mathrm{dc}}, forneça o valor calculado (≈180,28%) e justifique que é comparação com K_{\mathrm{dc}}, não %UP clássico.

Resposta

Ordem: segunda ordem.
Zeros: s=-2.
Polos: s=\pm 3\mathrm{j}.
Fator de amortecimento: \zeta=0.
Frequência natural não amortecida: \omega_{n}=3\\ \text{rad/s}.
Ganho estático (avaliação em s=0): K_{\mathrm{dc}}=\dfrac{2}{9}.
Resposta ao degrau (expressão): y(t)=\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{9}\cos(3t)+\dfrac{1}{3}\sin(3t).
Tempo de pico (primeiro máximo): t_{p}=\dfrac{\pi-\arctan(3/2)}{3}\approx 0{,}71960\\ \text{s}.
Amplitude do primeiro pico: y(t_{p})=\dfrac{2+\sqrt{13}}{9}\approx0{,}62283.
Tempo de subida e tempo de assentamento (definições clássicas): não se aplicam (sem valor de regime permanente devido a polos no eixo imaginário); nota: primeiro cruzamento do valor K_{\mathrm{dc}} em t\approx0{,}19600\\ \text{s}.
Sobressinal percentual clássico (%UP): não aplicável (não há valor final único). Comparação com K_{\mathrm{dc}}: \%\text{(sobre DC)}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\times100\%\approx180{,}28\% (apenas comparação numérica, não %UP clássico).
Mapa polos/zeros (localizações): zero em (-2,0); polos em (0,3) e (0,-3).
Classificação do amortecimento e estabilidade: sem amortecimento ( \zeta=0, oscilador puro), marginalmente estável (respostas sustentadas, não assintoticamente estável).

Exercícios relacionados