Em cada um dos sistemas abaixo encontre condições sobre a, b e c de modo que o mesmo tenha respectivamente uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução: \left\{\begin{aligned} 2 x+y-z & =a \\\\ 2 y+3 z & =b \\\ x-z & =c\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar condições sobre a, b e c tais que o sistema
tenha, respectivamente, uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
Informações dadas: as três equações acima, os parâmetros a,b,c são constantes (reais) e devemos analisar os casos possíveis do sistema em função desses parâmetros.]
Passo 2
Ideia geral (teoria útil e intuitiva que vou usar): para um sistema linear 3\times3 podemos observar a matriz dos coeficientes
Se \det(A)\neq 0 então o sistema tem exatamente uma solução para qualquer vetor do lado direito \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Isso vem do teorema da existência e unicidade para sistemas lineares e também da Regra de Cramer.
Se \det(A)=0 então pode ocorrer ou infinitas soluções ou nenhuma solução; para decidir entre essas duas hipóteses usamos a comparação entre o posto (rank) de A e o posto da matriz aumentada (A|{\bf b}), onde {\bf b}=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}: se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|{\bf b})<3 temos infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A|{\bf b}) o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Vou calcular \det(A) e, se for não nulo, também vou obter explicitamente a solução para ver a dependência em a,b,c. Se \det(A)=0 eu teria de comparar postos; se \det(A)\neq0 não preciso desse passo adicional.]
Passo 3
Calcular o determinante de A. Faço a expansão pela primeira linha (ou qualquer método que prefira):
Conclusão sobre o determinante: \det(A)=1\neq0. Pela teoria do Passo 2 isso implica que, para quaisquer valores reais de a,b,c, o sistema tem uma única solução. Ou seja, não há valores de a,b,c que provoquem \det(A)=0 porque o determinante é independente de a,b,c e já é igual a 1.
Mesmo assim, é útil e pedagógico obter explicitamente a solução em função de a,b,c — assim você verá como usar eliminação e terá prática para a prova.
Passo 5
Resolver o sistema por substituição/eliminação para encontrar x,y,z em função de a,b,c. Da terceira equação temos
Agora uso a segunda equação 2y+3z=b substituindo y:
2(a-2c-z)+3z = b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c-2z+3z=b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c+z=b.
Isolando z:
z = b-2a+4c.
Passo 6
Com z encontrado, volto a y e x. Substituo z em y=a-2c-z:
y = a-2c-(b-2a+4c) = a-2c-b+2a-4c = 3a-b-6c.
E x=c+z dá
x = c + (b-2a+4c) = b-2a+5c.
Portanto, para qualquer a,b,c reais há exatamente uma solução e ela é
x=b-2a+5c,\qquad y=3a-b-6c,\qquad z=b-2a+4c.
Passo 7
Discussão final sobre os três casos pedidos:
Como \det(A)=1\neq0 para todos os valores de a,b,c, o caso “infinitas soluções” não ocorre para nenhum a,b,c.
Também, o caso “nenhuma solução” (sistema incompatível) não ocorre para nenhum a,b,c.
Logo o único caso real é “uma única solução”, que ocorre para todos os a,b,c\in\mathbb{R}, e já temos a expressão dessa solução.
Observação prática para prova: calcular o determinante da matriz dos coeficientes é a forma mais rápida para decidir unicidade; se der não nulo, você acabou — existe uma única solução para qualquer vetor do lado direito. Aqui o cálculo do determinante foi simples e deu 1, então acabou rápido.
Resposta
Uma única solução: para todo a,b,c\in\mathbb{R}. A solução é x=b-2a+5c, y=3a-b-6c, z=b-2a+4c.
Infinitas soluções: não existe nenhum a,b,c que torne o sistema com infinitas soluções.
Nenhuma solução: não existe nenhum a,b,c que torne o sistema incompatível.