Em cada um dos sistemas abaixo encontre condições sobre a, b e c de modo que o mesmo tenha respectivamente uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução:
\left\{\begin{aligned} 2 x+y-z & =a \\\\ 2 y+3 z & =b \\\ x-z & =c\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar condições sobre a, b e c tais que o sistema
\left\{\begin{aligned} 2x+y-z &= a\\[4pt] 2y+3z &= b\\[4pt] x-z &= c \end{aligned}\right.
tenha, respectivamente, uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
Informações dadas: as três equações acima, os parâmetros a,b,c são constantes (reais) e devemos analisar os casos possíveis do sistema em função desses parâmetros.]

Passo 2

Ideia geral (teoria útil e intuitiva que vou usar): para um sistema linear 3\times3 podemos observar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
  • Se \det(A)\neq 0 então o sistema tem exatamente uma solução para qualquer vetor do lado direito \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Isso vem do teorema da existência e unicidade para sistemas lineares e também da Regra de Cramer.
  • Se \det(A)=0 então pode ocorrer ou infinitas soluções ou nenhuma solução; para decidir entre essas duas hipóteses usamos a comparação entre o posto (rank) de A e o posto da matriz aumentada (A|{\bf b}), onde {\bf b}=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}: se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A|{\bf b})<3 temos infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A|{\bf b}) o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Vou calcular \det(A) e, se for não nulo, também vou obter explicitamente a solução para ver a dependência em a,b,c. Se \det(A)=0 eu teria de comparar postos; se \det(A)\neq0 não preciso desse passo adicional.]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Faço a expansão pela primeira linha (ou qualquer método que prefira):
\det(A)= \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(A)=2\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & -1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}0 & 3\\[4pt]1 & -1\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{vmatrix}.
Calculo cada menor:
\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot0=-2,
\begin{vmatrix}0 & 3\\[4pt]1 & -1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)-3\cdot1=-3,
\begin{vmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{vmatrix}=0\cdot0-2\cdot1=-2.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-2)-1\cdot(-3)+(-1)\cdot(-2) = -4+3+2 = 1.]

Passo 4

Conclusão sobre o determinante: \det(A)=1\neq0. Pela teoria do Passo 2 isso implica que, para quaisquer valores reais de a,b,c, o sistema tem uma única solução. Ou seja, não há valores de a,b,c que provoquem \det(A)=0 porque o determinante é independente de a,b,c e já é igual a 1.
Mesmo assim, é útil e pedagógico obter explicitamente a solução em função de a,b,c — assim você verá como usar eliminação e terá prática para a prova.

Passo 5

Resolver o sistema por substituição/eliminação para encontrar x,y,z em função de a,b,c. Da terceira equação temos
x-z=c \quad\Rightarrow\quad x=c+z.
Substituo x=c+z na primeira equação 2x+y-z=a:
2(c+z)+y-z=a \quad\Rightarrow\quad 2c+2z+y-z=a \quad\Rightarrow\quad y=a-2c-z.
Agora uso a segunda equação 2y+3z=b substituindo y:
2(a-2c-z)+3z = b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c-2z+3z=b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c+z=b.
Isolando z:
z = b-2a+4c.

Passo 6

Com z encontrado, volto a y e x. Substituo z em y=a-2c-z:
y = a-2c-(b-2a+4c) = a-2c-b+2a-4c = 3a-b-6c.
E x=c+z
x = c + (b-2a+4c) = b-2a+5c.
Portanto, para qualquer a,b,c reais há exatamente uma solução e ela é
x=b-2a+5c,\qquad y=3a-b-6c,\qquad z=b-2a+4c.

Passo 7

Discussão final sobre os três casos pedidos:
  • Como \det(A)=1\neq0 para todos os valores de a,b,c, o caso “infinitas soluções” não ocorre para nenhum a,b,c.
  • Também, o caso “nenhuma solução” (sistema incompatível) não ocorre para nenhum a,b,c.
  • Logo o único caso real é “uma única solução”, que ocorre para todos os a,b,c\in\mathbb{R}, e já temos a expressão dessa solução.
Observação prática para prova: calcular o determinante da matriz dos coeficientes é a forma mais rápida para decidir unicidade; se der não nulo, você acabou — existe uma única solução para qualquer vetor do lado direito. Aqui o cálculo do determinante foi simples e deu 1, então acabou rápido.

Resposta

Uma única solução: para todo a,b,c\in\mathbb{R}. A solução é x=b-2a+5c, y=3a-b-6c, z=b-2a+4c.
Infinitas soluções: não existe nenhum a,b,c que torne o sistema com infinitas soluções.
Nenhuma solução: não existe nenhum a,b,c que torne o sistema incompatível.

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