\begin{aligned} &\text{Quatro equações em quatro incógnitas }x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.\\\ &\text{A última equação envolve apenas }x_{3}\text{, com coeficiente }2+k.\\\ &\text{Devemos achar para quais }k\text{ o sistema não admite solução.} \end{aligned}çõóúçããçã]
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): um sistema linear é incompatível quando, após usar operações elementares (eliminação), aparece uma linha que diz algo do tipo 0= c com c\neq 0 — ou seja, uma equação impossível. Outra maneira de ver é via posto: o sistema é incompatível quando o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes. Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo para detectar esse tipo de contradição.
Passo 3
Montamos a matriz aumentada [A\mid b] (cada linha = coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes):
Observe a última linha: \bigl(0,0,2+k,0 \mid 9\bigr). Essa linha corresponde à equação
(2+k)x_{3} \;=\; 9.
Duas situações podem ocorrer:
Se 2+k=0 (ou seja, k=-2), então o lado esquerdo é 0 e a equação fica 0=9, que é impossível. Isso fornece imediatamente uma linha contraditória — o sistema é incompatível.
Se 2+k\neq 0, então a última equação determina x_{3} de forma única:
x_{3}=\frac{9}{2+k},
e não há contradição nessa linha. Para confirmar consistência, podemos continuar a eliminação: usar a linha 3 (que tem pivô 2 em (3,3)) para eliminar a componente em R4 e então resolver por substituição — o importante é que, quando 2+k\neq 0, não surge nenhuma linha do tipo 0 = c com c\neq 0. Vou mostrar rapidamente a eliminação final para deixar isso claro.
Passo 7
Para 2+k\neq 0 fazemos a combinação \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \dfrac{2+k}{2}\text{R}_3. Calculando as entradas relevantes:
Se 2+k\neq 0 então \dfrac{2+k}{2}\neq 0 e podemos resolver x_{4}, e pelas linhas acima resolver x_{3},x_{2},x_{1}. Logo não há contradição: o sistema é compatível para k\neq -2.
Passo 8
Conclusão didática e direta: a única forma de gerar uma linha impossível (como 0=9) é quando o coeficiente de x_{3} na última equação é zero enquanto o termo independente é não nulo. Isso ocorre exatamente quando
2+k=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=-2.
Para k=-2 a última equação fica 0\cdot x_{3}=9, ou seja 0=9, e o sistema é incompatível. Para qualquer outro k não ocorre essa contradição e o sistema é compatível (pode-se resolver por substituição após eliminação).