Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
Torne o sistema linear
\left\{\begin{array}{rrlr} 3 x_{1}+5 x_{2}+12 x_{3}-x_{4} & = & -3 \\\ x_{1}+x_{2}+4 x_{3}-x_{4} & = & -6 \\\\ 2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & = & 5 \\\\ +2 x_{3}+k x_{3} & = & 9 \end{array},\right.
incompatível.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de k tais que o sistema linear abaixo torne-se incompatível (isto é, não tenha solução).
O sistema fornecido é
\left\{\begin{array}{rrrrl} 3x_{1}+5x_{2}+12x_{3}-x_{4} & = & -3\\[4pt] x_{1}+x_{2}+4x_{3}-x_{4} & = & -6\\[4pt] 0x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+1x_{4} & = & 5\\[4pt] 0x_{1}+0x_{2}+(2+k)x_{3}+0x_{4} & = & 9 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Quatro equações em quatro incógnitas }x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.\\\ &\text{A última equação envolve apenas }x_{3}\text{, com coeficiente }2+k.\\\ &\text{Devemos achar para quais }k\text{ o sistema não admite solução.} \end{aligned}çõóúçããçã]

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): um sistema linear é incompatível quando, após usar operações elementares (eliminação), aparece uma linha que diz algo do tipo 0= c com c\neq 0 — ou seja, uma equação impossível. Outra maneira de ver é via posto: o sistema é incompatível quando o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes. Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo para detectar esse tipo de contradição.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\mid b] (cada linha = coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes):
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 12 & -1 & \vline & -3\\[4pt] 1 & 1 & 4 & -1 & \vline & -6\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2+k & 0 & \vline & 9 \end{pmatrix}
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (isso é permitido e facilita ter pivô 1):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & -1 & \vline & -6\\[4pt] 3 & 5 & 12 & -1 & \vline & -3\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2+k & 0 & \vline & 9 \end{pmatrix}]

Passo 4

Elimino a coluna 1 nas linhas abaixo do pivô da primeira linha:
  • Faço \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\text{R}_1. Calculemos cada entrada da linha 2:
\begin{aligned} &3-3\cdot 1 = 0,\\\ &5-3\cdot 1 = 2,\\\ &12-3\cdot 4 = 0,\\\ &-1-3\cdot(-1)= -1+3 = 2,\\\ &-3-3\cdot(-6)= -3+18 = 15. \end{aligned}
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & -1 & \vline & -6\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 2 & \vline & 15\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2+k & 0 & \vline & 9 \end{pmatrix}]

Passo 5

Agora faço \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2 para zerar a entrada (3,2):
\begin{aligned} &0-0=0,\\\ &2-2=0,\\\ &2-0=2,\\\ &1-2=-1,\\\ &5-15=-10. \end{aligned}
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & -1 & \vline & -6\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 2 & \vline & 15\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -1 & \vline & -10\\[4pt] 0 & 0 & 2+k & 0 & \vline & 9 \end{pmatrix}]

Passo 6

Observe a última linha: \bigl(0,0,2+k,0 \mid 9\bigr). Essa linha corresponde à equação
(2+k)x_{3} \;=\; 9.
Duas situações podem ocorrer:
  • Se 2+k=0 (ou seja, k=-2), então o lado esquerdo é 0 e a equação fica 0=9, que é impossível. Isso fornece imediatamente uma linha contraditória — o sistema é incompatível.
  • Se 2+k\neq 0, então a última equação determina x_{3} de forma única:
x_{3}=\frac{9}{2+k},
e não há contradição nessa linha. Para confirmar consistência, podemos continuar a eliminação: usar a linha 3 (que tem pivô 2 em (3,3)) para eliminar a componente em R4 e então resolver por substituição — o importante é que, quando 2+k\neq 0, não surge nenhuma linha do tipo 0 = c com c\neq 0. Vou mostrar rapidamente a eliminação final para deixar isso claro.

Passo 7

Para 2+k\neq 0 fazemos a combinação \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \dfrac{2+k}{2}\text{R}_3. Calculando as entradas relevantes:
\text{nova R}_4:\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dfrac{2+k}{2} & \vline & 9 - \bigl(-10\cdot\dfrac{2+k}{2}\bigr) \end{pmatrix}
o termo independente fica
9 + 5(2+k) = 19 + 5k.
Portanto a nova quarta linha é
\biggl(0,\,0,\,0,\,\dfrac{2+k}{2}\;\bigm|\;19+5k\biggr),
que corresponde à equação
\frac{2+k}{2}\,x_{4} = 19+5k.
Se 2+k\neq 0 então \dfrac{2+k}{2}\neq 0 e podemos resolver x_{4}, e pelas linhas acima resolver x_{3},x_{2},x_{1}. Logo não há contradição: o sistema é compatível para k\neq -2.

Passo 8

Conclusão didática e direta: a única forma de gerar uma linha impossível (como 0=9) é quando o coeficiente de x_{3} na última equação é zero enquanto o termo independente é não nulo. Isso ocorre exatamente quando
2+k=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=-2.
Para k=-2 a última equação fica 0\cdot x_{3}=9, ou seja 0=9, e o sistema é incompatível. Para qualquer outro k não ocorre essa contradição e o sistema é compatível (pode-se resolver por substituição após eliminação).

Resposta

k=-2

Exercícios relacionados