Em cada um dos sistemas abaixo encontre condições sobre a, b e c de modo que o mesmo tenha respectivamente uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução: \left\{\begin{aligned} x+a y & =0 \\\ y+b z & =0 \\\ c x+z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com parâmetros a,b,c\):
\[\begin{cases} x + a y = 0,\\[4pt] y + b z = 0,\\[4pt] c x + z = 0. \end{cases}
Ele pede que eu determine condições sobre a,b,c\] tais que o sistema tenha:
1) uma única solução; 2) infinitas soluções; 3) nenhuma solução.
Informações importantes do enunciado: as incógnitas são \(x,y,z e os coeficientes envolvem os parâmetros a,b,c. O sistema é homogêneo (lado direito é zero).]
Passo 2
Vou escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=0, escrevendo a matriz dos coeficientes e o vetor incógnita:
A=\begin{pmatrix}1 & a & 0\\[4pt] 0 & 1 & b\\[4pt] c & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}.
Explicando devagar: isto significa que o sistema é exatamente A\mathbf{x}=0. Como é homogêneo, a solução trivial \mathbf{x}=(0,0,0)^T sempre existe — já guarde isso, vai ser útil.]
Passo 3
Aqui entra um conceito chave (vou explicar como se estivesse conversando na sala de estudo): para um sistema linear A\mathbf{x}=0 com A quadrada 3\times3,
se \det(A)\neq 0 então A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{x}=0;
se \det(A)=0 então A não é invertível e existem soluções não-triviais; para um sistema homogêneo com 3 incógnitas isso significa infinitas soluções (um espaço nulo de dimensão pelo menos 1).
Resumo curto: determinant nonzero → única solução; determinant zero → infinitas soluções. Nenhuma solução não ocorre em sistemas homogêneos (pois \mathbf{x}=0 sempre satisfaz).
Passo 4
Vamos calcular \det(A) passo a passo. Faço a expansão pela primeira linha (expansão de Laplace):
\det\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] c & 1\end{pmatrix}=0\cdot1 - b\cdot c = - b c.
Substituindo:
\det(A)=1 - a\cdot(-b c)=1 + a b c.]
Passo 5
Com o cálculo pronto temos a condição explícita:
\det(A)=1+ a b c.
Pelo que expliquei no Passo 3, então:
se 1+ a b c \neq 0 a matriz é invertível e o sistema tem apenas a solução trivial \mathbf{x}=0 (logo única solução);
se 1+ a b c = 0 a matriz não é invertível e o sistema admite soluções não-triviais (logo infinitas soluções, por ser homogêneo com 3 incógnitas).
Passo 6
Para fixar na cabeça, vou mostrar a dedução direta das relações entre x,y,z que prova isso sem determinantes (útil na prova se você esquecer o teorema): das equações
x = -a y,\qquad y = -b z,\qquad z = -c x.
Substituindo sequencialmente, x = -a(-b z)=a b z. Mas também z = -c x. Com isso obtemos
z = -c x = -c(a b z) = -(a b c) z,
ou seja
z(1+ a b c)=0.
Desta equação saem dois casos:
se 1+ a b c \neq 0 então z=0, e voltando y=-b z=0 e x=-a y=0. Só a solução trivial.
se 1+ a b c = 0 então não há restrição sobre z (pode ser qualquer parâmetro, digamos t), e então y=-b t, x=-a y = a b t. Como t varia livremente, há infinitas soluções (uma família unidimensional, ou mais dependendo dos valores, mas sempre infinita).
Passo 7
Sobre a alternativa “nenhuma solução”: para sistemas homogêneos como este (termos independentes todos zero) é impossível não ter solução, pois a solução nula (0,0,0) satisfaz as três equações. Portanto a condição “nenhuma solução” nunca ocorre para este sistema, independente de a,b,c.
Resposta
Única solução: 1+ a b c \neq 0.
Infinitas soluções: 1+ a b c = 0.
Nenhuma solução: impossível (o sistema homogêneo sempre admite a solução (0,0,0)).