Para cada um dos sistemas abaixo, mostre seus polos e zeros no Plano S e apresente graficamente sua resposta ao degrau unitário:
H(s)=\frac{120}{s^{2}+32 s+60}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
H(s)=\frac{120}{s^{2}+32s+60}
e pede (a) os polos e zeros no plano s e (b) a resposta ao degrau unitário u(t)=1(t), graficamente. Vamos usar teoria de resolução de frações parciais para obter a resposta no tempo e identificar a natureza dos polos.

Passo 2

Para encontrar zeros e polos, note que o numerador é constante.
— Zinelas finitos: não há zeros finitos (só há um zero em s=\infty).
— Polos: raízes de s^{2}+32s+60=0.
\Delta =32^{2}-4\cdot1\cdot60=1024-240=784
s = \frac{-32\pm\sqrt{784}}{2}=\frac{-32\pm28}{2}\quad\Longrightarrow\quad s_{1}=-2,\;s_{2}=-30.

Passo 3

A resposta ao degrau é
Y(s)=H(s)\,\frac{1}{s} =\frac{120}{s(s+2)(s+30)}.
Fazendo frações parciais
\frac{120}{s(s+2)(s+30)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+30}
e igualando coeficientes ou usando s=0,-2,-30, obtemos
A=2,\quad B=-\frac{15}{7},\quad C=\frac{1}{7}.
Invertendo a transformada de Laplace, para t\ge0,
y(t) =2-\frac{15}{7}e^{-2t}+\frac{1}{7}e^{-30t}.
Note que y(0)=0 e \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=2.

Passo 4

O sistema tem dois polos reais, bem separados e negativos -2 e -30, logo é sobremortecido e a resposta ao degrau é monótona, sem oscilações. O modo rápido e^{-30t} decai quase instantaneamente, e o modo lento e^{-2t} domina a aproximação ao valor final 2.
Esboço da resposta ao degrau:
y
2 ──────────────●─────────────
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
0 ──┼──/──────────────────── t
0 ↑
tardio

Resposta

Polos: s_{1}=-2, s_{2}=-30
Zeros finitos: nenhum
Resposta ao degrau:
y(t)=2-\frac{15}{7}e^{-2t}+\frac{1}{7}e^{-30t},\quad t\ge0,
com comportamento sobremortecido, atingindo valor final 2.

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