Para cada um dos sistemas abaixo, mostre seus polos e zeros no Plano S e apresente graficamente sua resposta ao degrau unitário:
H(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2 s+9}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2\,s+9}
que é um sistema LTI de segunda ordem. Precisamos encontrar seus zeros e polos no plano s e traçar a resposta ao degrau unitário no tempo.

Passo 2

Os zeros de H(s) são as raízes do numerador. Como o numerador é a constante 36, não há zeros finitos.
Zeros (finito): nenhum.

Passo 3

Os polos são as raízes do denominador
s^{2}+4,2\,s+9=0.
Para resolver, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
s = \frac{-4,2 \pm \sqrt{4,2^{2}-4\cdot1\cdot9}}{2} = \frac{-4,2 \pm \sqrt{17,64-36}}{2} = \frac{-4,2 \pm j\sqrt{18,36}}{2} = -2,1 \pm j\,2,142.
Polos:
s_{1,2} = -2,1 \pm j\,2,142.

Passo 4

Para caracterizar o segundo-ordem, calculemos a frequência natural \omega_{n} e razão de amortecimento \zeta:
\omega_{n} = \sqrt{9}=3, \qquad \zeta = \frac{4,2}{2\,\omega_{n}} = \frac{4,2}{6}=0,7.
E a frequência amortecida é
\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} = 3\sqrt{1-0,49} = 3\cdot0,714 = 2,142.

Passo 5

O ganho em regime permanente ao degrau unitário é
H(0)=\frac{36}{9}=4.
A resposta ao degrau unitário de um sistema subamortecido é
y(t) =K\Bigl[1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,\mathrm e^{-\zeta\omega_{n}t} \sin\bigl(\omega_{d}\,t+\varphi\bigr)\Bigr],
onde K=4 e \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)\approx\operatorname{arccos}(0,7).

Passo 6

Esboço no plano s ( \times= polos, “o” = zeros):
Imag

2,142 | ×
|
0+----------------→ Real
-2,1
Não há zeros (“o”) finitos.
Esboço qualitativo da resposta ao degrau unitário:
Amplitude
4,2+ * *
4,0+ / \
  • / \–––––––––
  • /
    0,0+–––––/––––––––––––––––––––→ Tempo (s)
0123
A curva sai de zero, ultrapassa ligeiramente 4 ( \approx 4,18 em 1,47 s), oscila com overshoot \approx 4,6 % e se estabiliza em 4.

Resposta

Polos: \;s=-2,1\pm j\,2,142
Zeros: nenhum (finito)
Resposta ao degrau: conforme esboço acima, saída final em 4 com pequeno overshoot.

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