Questão 4 - Para a equação que representa o problema presa-predador - Equação de Lotka-Volterra:
\begin{aligned} & \dot{y}_{1}=a y_{1}-c y_{1} y_{2} \\\ & \dot{y}_{2}=-b y_{2}+d y_{1} y_{2} \end{aligned}
a) Encontre os pontos de equilíbrio.
b) Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra (presa–predador)
\dot y_{1} = a\,y_{1} - c\,y_{1}y_{2}, \quad \dot y_{2} = -b\,y_{2} + d\,y_{1}y_{2},
e pede em (a) os pontos de equilíbrio (onde \dot y_{1}=0 e \dot y_{2}=0) e em (b) a linearização do sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido. Vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos: para (a) resolveremos as equações estacionárias e para (b) calcularemos o jacobiano e o avaliaremos no ponto escolhido.

Passo 2

Impondo \dot y_{1}=0\) e \(\dot y_{2}=0\) temos o sistema \[\begin{cases} a\,y_{1} - c\,y_{1}y_{2} = 0,\\\\ -\,b\,y_{2} + d\,y_{1}y_{2} = 0. \end{cases}
Da primeira equação sai y_{1}(a - c\,y_{2})=0\], logo \(y_{1}=0 ou y_{2}=a/c.
Da segunda vem y_{2}(-b + d\,y_{1})=0, logo y_{2}=0 ou y_{1}=b/d.
Combinando, os únicos pares que satisfazem ambas são
(y_{1},y_{2}) = (0,0) \quad\text{e}\quad (y_{1},y_{2}) = \Bigl(\tfrac{b}{d},\,\tfrac{a}{c}\Bigr).

Passo 3

Para linearizar, calculamos o jacobiano J(y_{1},y_{2}) das funções f_{1}=a\,y_{1}-c\,y_{1}y_{2} e f_{2}=-b\,y_{2}+d\,y_{1}y_{2}.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} = a - c\,y_{2},\quad \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{2}} = -\,c\,y_{1},
\frac{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} = d\,y_{2},\quad \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} = -\,b + d\,y_{1}.
Portanto
J(y_{1},y_{2}) = \begin{pmatrix} a - c\,y_{2} & -\,c\,y_{1}\\[6pt] d\,y_{2} & -\,b + d\,y_{1} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Escolhendo o ponto de equilíbrio não trivial \bigl(b/d,a/c\bigr), substituímos em J:
J\Bigl(\tfrac{b}{d},\,\tfrac{a}{c}\Bigr) = \begin{pmatrix} a - c\,(a/c) & -\,c\,(b/d)\\[4pt] d\,(a/c) & -\,b + d\,(b/d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\,\tfrac{b\,c}{d}\\[4pt] \tfrac{a\,d}{c} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Definindo perturbações u = y_{1}-\tfrac{b}{d} e v = y_{2}-\tfrac{a}{c}, o sistema linearizado em torno de \bigl(b/d,a/c\bigr) é
\begin{pmatrix}\dot u\\dot v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{b\,c}{d}\\[8pt] \dfrac{a\,d}{c} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}.]

Resposta

a) Os pontos de equilíbrio são \,(y_{1},y_{2})=(0,0) e \,(y_{1},y_{2})=\bigl(\tfrac{b}{d},\tfrac{a}{c}\bigr).
b) Em torno de \bigl(\tfrac{b}{d},\tfrac{a}{c}\bigr), o sistema linearizado é
\begin{pmatrix}\dot u\\dot v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{b\,c}{d}\\[8pt] \dfrac{a\,d}{c} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}.]

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