Questão 4 - Para a equação que representa o problema presa-predador - Equação de Lotka-Volterra:
a) Encontre os pontos de equilíbrio.
b) Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.
b) Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra (presa–predador)
e pede em (a) os pontos de equilíbrio (onde
e
) e em (b) a linearização do sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido. Vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos: para (a) resolveremos as equações estacionárias e para (b) calcularemos o jacobiano e o avaliaremos no ponto escolhido.
Passo 2
Impondo
Da primeira equação sai
ou
.
Da segunda vem
, logo
ou
.
Combinando, os únicos pares que satisfazem ambas são
Combinando, os únicos pares que satisfazem ambas são
Passo 3
Para linearizar, calculamos o jacobiano
das funções
e
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Portanto
Passo 4
Escolhendo o ponto de equilíbrio não trivial
, substituímos em
:
Passo 5
Definindo perturbações
e
, o sistema linearizado em torno de
é
]
Resposta
a) Os pontos de equilíbrio são
e
b) Em torno de
, o sistema linearizado é
]