Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o sistema descrito pela equação diferencial
Conteúdo da matéria: estabilidade de sistemas lineares (internamente e BIBO) via localização das raízes características (polos). Vamos precisar de:
- obter a função de transferência
, - achar as raízes do denominador (polos) com Bhaskara,
- aplicar definição de estabilidade interna e BIBO.
Passo 2
Transformamos a equação diferencial em domínio
(Laplace, condições iniciais nulas). Substituindo
:
Logo a função de transferência é
O denominador
é a nossa equação característica cujas raízes (polos) definem a estabilidade interna.
Passo 3
Encontrar os polos:
-
→ . -
. Usando a fórmula de Bhaskara, para , , :
Passo 4
Classificação interna:
- Polos em
(LHP, “estável”). - Polos em
(RHP, “instável”).
Como existem polos com parte real positiva, o sistema é instável internamente (não existe decaimento para).
Passo 5
Estabilidade BIBO:
Um sistema LTI é BIBO estável se todos os polos de estiverem no semiplano esquerdo. Aqui temos dois polos em RHP → o sistema é BIBO instável.
Um sistema LTI é BIBO estável se todos os polos de
Resposta
Raízes características (polos):
O sistema é instável (internamente) e instável BIBO.