Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
(D+1)(D^2-4 D+9) y(t)=(D+7) x(t)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema descrito pela equação diferencial
(D+1),(D^2 - 4D + 9),y(t) ;=;(D+7),x(t)
Conteúdo da matéria: estabilidade de sistemas lineares (internamente e BIBO) via localização das raízes características (polos). Vamos precisar de:
  1. obter a função de transferência ,
  2. achar as raízes do denominador (polos) com Bhaskara,
  3. aplicar definição de estabilidade interna e BIBO.

Passo 2

Transformamos a equação diferencial em domínio (s+1),(s^2 - 4s + 9),Y(s);=;(s+7),X(s) (Laplace, condições iniciais nulas). Substituindo H(s);=;Y(s)X(s) ;=;s+7(s+1),(s^2-4s+9) :
Logo a função de transferência é
O denominador é a nossa equação característica cujas raízes (polos) definem a estabilidade interna.

Passo 3

Encontrar os polos:
  1. s2,3=4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot92cdot1 =4pmraiz16-362 =4pmraiz-202 =2pm jraiz5 .
  2. . Usando a fórmula de Bhaskara, para , , :

Passo 4

Classificação interna:
  • Polos em (LHP, “estável”).
  • Polos em (RHP, “instável”).
    Como existem polos com parte real positiva, o sistema é instável internamente (não existe decaimento para ).

Passo 5

Estabilidade BIBO:
Um sistema LTI é BIBO estável se todos os polos de estiverem no semiplano esquerdo. Aqui temos dois polos em RHP → o sistema é BIBO instável.

Resposta

Raízes características (polos):
s1=-1, s2,3=2pm jraiz5
O sistema é instável (internamente) e instável BIBO.

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