Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
D(D+2) y(t)=3 x(t)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial que descreve o comportamento interno de um sistema contínuo:
D(D+2),y(t)=3,x(t)
O que o exercício pede é:
  1. Achar as raízes características (os polos) no plano complexo.
  2. Dizer se o sistema é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável (estabilidade interna).
  3. Dizer se ele é BIBO estável (Bounded‐Input Bounded‐Output).
    Para isso, a gente vai precisar de noções de transformada de Laplace, função de transferência, polos (raízes do denominador) e critérios básicos de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos passar a equação para o domínio de Laplace e obter a função de transferência D(D+2)y(t) xrightarrowL s(s+2),Y(s) e 3,x(t) xrightarrowL 3,X(s) .
Aplicando a transformada de Laplace (supondo condições iniciais zero):
s(s+2),Y(s)=3,X(s) Longrightarrow H(s)=Y(s)X(s)=3s(s+2)
Então a equação vira

Passo 3

Agora, as raízes características são justamente os valores de s(s+2)=0 Longrightarrow s1=0, s2=-2 que anulam o denominador de :
Esses dois valores são os polos do sistema.

Passo 4

Para ver a estabilidade interna (assintótica, marginal ou instável), a gente olha as partes reais dos polos:
  • Se todas as partes reais forem negativas, é assintoticamente estável.
  • Se alguma parte real for zero (mas sem repetição), é marginalmente estável.
  • Se houver polo com parte real positiva (ou polo em zero repetido), é instável.
No nosso caso:
  • Polo em tem parte real negativa.
  • Polo em está no eixo imaginário e é simples (não repetido).
Logo, o sistema é marginalmente estável (por causa do pólo simples em zero).

Passo 5

Para BIBO estabilidade, a regra é: todo polo da função de transferência deve ter parte real negativa (estritamente). Aqui a gente tem um polo em , que não satisfaz parte real negativa. Isso significa que, mesmo com um entrada limitada, a saída pode crescer sem limites (por exemplo, um degrau gera uma rampa).
Portanto, o sistema não é BIBO estável.

Resposta

Raízes características: e .
Estabilidade interna: marginalmente estável.
Estabilidade BIBO: não estável.

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