Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial que descreve o comportamento interno de um sistema contínuo:
O que o exercício pede é:
- Achar as raízes características (os polos) no plano complexo.
- Dizer se o sistema é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável (estabilidade interna).
- Dizer se ele é BIBO estável (Bounded‐Input Bounded‐Output).
Para isso, a gente vai precisar de noções de transformada de Laplace, função de transferência, polos (raízes do denominador) e critérios básicos de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos passar a equação para o domínio de Laplace e obter a função de transferência
.
Aplicando a transformada de Laplace (supondo condições iniciais zero):
Aplicando a transformada de Laplace (supondo condições iniciais zero):
Então a equação vira
Passo 3
Agora, as raízes características são justamente os valores de
que anulam o denominador de
:
Esses dois valores são os polos do sistema.
Passo 4
Para ver a estabilidade interna (assintótica, marginal ou instável), a gente olha as partes reais dos polos:
- Se todas as partes reais forem negativas, é assintoticamente estável.
- Se alguma parte real for zero (mas sem repetição), é marginalmente estável.
- Se houver polo com parte real positiva (ou polo em zero repetido), é instável.
No nosso caso:
- Polo em
tem parte real negativa. - Polo em
está no eixo imaginário e é simples (não repetido).
Logo, o sistema é marginalmente estável (por causa do pólo simples em zero).
Passo 5
Para BIBO estabilidade, a regra é: todo polo da função de transferência deve ter parte real negativa (estritamente). Aqui a gente tem um polo em
, que não satisfaz parte real negativa. Isso significa que, mesmo com um entrada limitada, a saída pode crescer sem limites (por exemplo, um degrau gera uma rampa).
Portanto, o sistema não é BIBO estável.
Portanto, o sistema não é BIBO estável.
Resposta
Raízes características:
e
.
Estabilidade interna: marginalmente estável.
Estabilidade BIBO: não estável.
Estabilidade interna: marginalmente estável.
Estabilidade BIBO: não estável.