Calcule a transformada inversa de Fourier, x(t), para os sinais:
3[de

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Calcule a transformada inversa de Fourier
X(omega)=3l[de
para obter .
Conteúdo: Transformada inversa de Fourier e propriedade de amostragem do delta.
Vamos precisar da fórmula da inversa e da “propriedade sifting” do delta, que faz .

Passo 2

A definição que usamos é
x(t);=;12piintegral-infty^inftyX(omega),e^jomega t,domega
Aqui é nosso sinal em frequência. A ideia é quebrar a integral em pedaços com cada delta e aplicar a propriedade sifting.

Passo 3

Substituindo x(t) =12pil[ 3l(e^jcdot1cdot t-e^jcdot(-1)cdot tr) + 2l(e^jcdot2pi t+e^jcdot(-2pi) tr) r] dentro da integral e usando
, a gente tem:

Passo 4

Agora simplificamos usando as fórmulas de Euler:
  • x(t) =12pil[3,(2jsin t);+;2,(2cos(2pi t))r] =6jsin t+4cos(2pi t)2pi =3jpisin t+2picos(2pi t)
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Resposta

boxed x(t)=3jpi,sin t ;+;2pi,cos(2pi t)

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