Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
(D^2+1)(D^2+9) y(t)=(D^2+2 D+4) x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema descrito pela equação diferencial
l(D^2 + 1r)l(D^2 + 9r)y(t) ;=;l(D^2 + 2D + 4r)x(t)
Aqui a matéria é Equações Diferenciais Lineares e Estabilidade de Sistemas LTI em tempo contínuo. O que precisamos fazer:
  1. Identificar o polinômio característico do sistema interno (isso é pegar o lado de e trocar por ).
  2. Encontrar as raízes (os pólos) desse polinômio no plano complexo.
  3. Classificar a estabilidade interna (assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável).
  4. Verificar a estabilidade BIBO considerando essas raízes.

Passo 2

Vamos ao polinômio característico interno. No lado de (D^2 + 1)(D^2 + 9);=;0 temos
(s^2 + 1)(s^2 + 9) ;=; 0
Em Laplace, trocamos por , então o polinômio é

Passo 3

Agora achamos as raízes de cada fator:
  1. .
  2. .
    Logo os pólos são .

Passo 4

Para ver o tipo de estabilidade interna, lembramos:
  • Assintoticamente estável precisa de todas as partes reais negativas.
  • Marginalmente estável se só tiver pólos com parte real igual a zero, todos simples.
  • Instável se algum pólo tiver parte real positiva ou polo na parte real zero repetido.
Aqui todos os pólos estão puramente imaginários ( ) e são simples (não repetidos). Então o sistema é marginalmente estável internamente.

Passo 5

Para a estabilidade BIBO, o critério é: o sistema contínuo LTI é BIBO estável se e somente se todos os seus pólos estiverem no semiplano esquerdo ( ).
Como nossos pólos estão na linha imaginária ( ), o impulso do sistema seriam senos e cossenos que não se atenuam, e isso faz com que a integral do valor absoluto da resposta (impulso) diverja.
Logo, o sistema não é BIBO estável.

Resposta

Pólos: e .
Internamente: marginalmente estável.
BIBO: instável.

Exercícios relacionados