Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema descrito pela equação diferencial
Aqui a matéria é Equações Diferenciais Lineares e Estabilidade de Sistemas LTI em tempo contínuo. O que precisamos fazer:
- Identificar o polinômio característico do sistema interno (isso é pegar o lado de
e trocar por ). - Encontrar as raízes (os pólos) desse polinômio no plano complexo.
- Classificar a estabilidade interna (assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável).
- Verificar a estabilidade BIBO considerando essas raízes.
Passo 2
Vamos ao polinômio característico interno. No lado de
temos
Em Laplace, trocamos
por
, então o polinômio é
Passo 3
Agora achamos as raízes de cada fator:
-
. -
.
Logo os pólos são.
Passo 4
Para ver o tipo de estabilidade interna, lembramos:
- Assintoticamente estável precisa de todas as partes reais negativas.
- Marginalmente estável se só tiver pólos com parte real igual a zero, todos simples.
- Instável se algum pólo tiver parte real positiva ou polo na parte real zero repetido.
Aqui todos os pólos estão puramente imaginários (
) e são simples (não repetidos). Então o sistema é marginalmente estável internamente.
Passo 5
Para a estabilidade BIBO, o critério é: o sistema contínuo LTI é BIBO estável se e somente se todos os seus pólos estiverem no semiplano esquerdo (
).
Como nossos pólos estão na linha imaginária ( ), o impulso do sistema seriam senos e cossenos que não se atenuam, e isso faz com que a integral do valor absoluto da resposta (impulso) diverja.
Logo, o sistema não é BIBO estável.
Como nossos pólos estão na linha imaginária (
Logo, o sistema não é BIBO estável.
Resposta
Pólos:
e
.
Internamente: marginalmente estável.
BIBO: instável.
Internamente: marginalmente estável.
BIBO: instável.