Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
Passo 1
Então, o enunciado manda analisar o sistema
a) Encontrar as raízes características no plano complexo (ou seja, os polos do sistema)
b) Dizer se, internamente (modo livre), ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável
c) Dizer se ele é BIBO estável (ou seja, se uma entrada limitada gera sempre uma saída limitada)
b) Dizer se, internamente (modo livre), ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável
c) Dizer se ele é BIBO estável (ou seja, se uma entrada limitada gera sempre uma saída limitada)
Conteúdo que vamos usar:
- Equação característica de um ODE para ver estabilidade interna (basta ver as raízes do polinômio)
- Transformada de Laplace / função de transferência
para ver BIBO (polos à esquerda e sistema próprio)
Passo 2
Primeiro a parte interna (homogênea). Expandindo o lado esquerdo:
A equação característica é
Para resolver, a gente procura dois números cujo produto é
e soma é
. São
e
.
— Teoria: Se todas as raízes têm parte real negativa (
), o sistema livre tende a zero quando
. Isso se chama estabilidade assintótica.
— Teoria: Se todas as raízes
Passo 3
Agora, BIBO. Vamos achar a função de transferência: passa T.L. nos dois lados (condições iniciais zero):
Condições de BIBO:
- Todos os polos (aqui
e ) têm parte real negativa → ok. - Grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1) → sistema é estritamente próprio → ok.
Logo, a resposta ao impulsoé absolutamente integrável → sistema BIBO estável.
Resposta
Raízes características (polos):
,
.
Internamente: assintoticamente estável.
BIBO: estável.
Internamente: assintoticamente estável.
BIBO: estável.