Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
(D+1)(D+2) y(t)=(2 D+3) x(t)

Passo 1

Então, o enunciado manda analisar o sistema
(D+1)(D+2),y(t) ;=;(2D+3),x(t)
a) Encontrar as raízes características no plano complexo (ou seja, os polos do sistema)
b) Dizer se, internamente (modo livre), ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável
c) Dizer se ele é BIBO estável (ou seja, se uma entrada limitada gera sempre uma saída limitada)
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação característica de um ODE para ver estabilidade interna (basta ver as raízes do polinômio)
  • Transformada de Laplace / função de transferência para ver BIBO (polos à esquerda e sistema próprio)

Passo 2

Primeiro a parte interna (homogênea). Expandindo o lado esquerdo:
(D+1)(D+2),y(t) = y''(t) + 3,y'(t) + 2,y(t)
A equação característica é
lambda^2 + 3lambda + 2 = 0
Para resolver, a gente procura dois números cujo produto é e soma é . São e .
— Teoria: Se todas as raízes têm parte real negativa ( ), o sistema livre tende a zero quando . Isso se chama estabilidade assintótica.

Passo 3

Agora, BIBO. Vamos achar a função de transferência: passa T.L. nos dois lados (condições iniciais zero):
(s+1)(s+2),Y(s) = (2s+3),X(s) Longrightarrow H(s) = Y(s)X(s) = 2s+3(s+1)(s+2)
Condições de BIBO:
  1. Todos os polos (aqui e ) têm parte real negativa → ok.
  2. Grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1) → sistema é estritamente próprio → ok.
    Logo, a resposta ao impulso é absolutamente integrável → sistema BIBO estável.

Resposta

Raízes características (polos): , .
Internamente: assintoticamente estável.
BIBO: estável.

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