Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos o sistema contínuo descrito pela equação
O que a gente precisa fazer:
1) Encontrar as raízes características (os polos) do sistema no plano complexo.
2) Dizer se o sistema é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável (analisando o “sistema interno”).
3) Verificar se ele é BIBO estável (ou seja, se para qualquer entrada limitada a saída também fica limitada).
Para isso a gente vai usar teoria de sistemas LTI contínuos: trocar
por
, achar a função de transferência, achar polos, ver a parte real deles e aplicar os critérios de estabilidade interna e BIBO.
Passo 2
Primeiro passo da resolução prática: montar a função de transferência
trocando
.
A equação em fica
A equação em
Logo,
Nesse denominador
é justamente o polinômio característico cujas raízes são os polos do sistema.
Passo 3
Agora achamos as raízes desse denominador:
Isso dá:
- Dois polos em
- Um polo em
No plano complexo temos um polo repetido bem na origem e outro no ponto real
.
Passo 4
Vamos ver a estabilidade interna (assintótica/marginal/instável) pelo critério das partes reais dos polos:
- Polos com
→ contribuem para estabilidade assintótica. - Polo simples em
→ seria marginalmente estável (oscilações persistem mas não crescem). - Polo com multiplicidade maior que 1 em
→ gera termos que crescem em (como ), logo sistema instável.
Aqui, como temos dois polos em zero, a solução livre terá termos do tipo
, o que cresce sem limites. Portanto o sistema é internamente instável.
Passo 5
Para BIBO estabilidade, o critério é: todos os polos de
devem ter parte real estritamente negativa.
Mas já vimos que existem polos em , ou seja, na fronteira do semiplano esquerdo. Isso quebra o critério, então o sistema não é BIBO estável.
Mas já vimos que existem polos em
Resposta
Sendo assim:
- Polos:
(multiplicidade 2) e . - Estabilidade interna: instável (polo repetido em
). - BIBO estabilidade: não BIBO estável.