Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir, localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável, assumindo que cada equação descreve seu sistema interno. Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema
D^2(D+3) y(t)=(D+5) x(t)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos o sistema contínuo descrito pela equação
D^2(D+3),y(t);=;(D+5),x(t),
O que a gente precisa fazer:
1) Encontrar as raízes características (os polos) do sistema no plano complexo.
2) Dizer se o sistema é assintoticamente estável, marginalmente estável ou instável (analisando o “sistema interno”).
3) Verificar se ele é BIBO estável (ou seja, se para qualquer entrada limitada a saída também fica limitada).
Para isso a gente vai usar teoria de sistemas LTI contínuos: trocar D por s, achar a função de transferência, achar polos, ver a parte real deles e aplicar os critérios de estabilidade interna e BIBO.

Passo 2

Primeiro passo da resolução prática: montar a função de transferência H(s) trocando Dto s.
A equação em s fica
s^2,(s+3);Y(s);=;(s+5),X(s),
Logo,
H(s)=Y(s)X(s) ;=;s+5s^2,(s+3),
Nesse denominador s^2,(s+3) é justamente o polinômio característico cujas raízes são os polos do sistema.

Passo 3

Agora achamos as raízes desse denominador:
s^2,(s+3)=0;Longrightarrow;s^2=0ou s+3=0
Isso dá:
- Dois polos em s=0 (polo de ordem 2)
- Um polo em s=-3
No plano complexo temos um polo repetido bem na origem e outro no ponto real -3.

Passo 4

Vamos ver a estabilidade interna (assintótica/marginal/instável) pelo critério das partes reais dos polos:
  • Polos com Res<0 → contribuem para estabilidade assintótica.
  • Polo simples em Res=0 → seria marginalmente estável (oscilações persistem mas não crescem).
  • Polo com multiplicidade maior que 1 em Res=0 → gera termos que crescem em t (como tcdot C), logo sistema instável.
Aqui, como temos dois polos em zero, a solução livre terá termos do tipo C1 + C2,t, o que cresce sem limites. Portanto o sistema é internamente instável.

Passo 5

Para BIBO estabilidade, o critério é: todos os polos de H(s) devem ter parte real estritamente negativa.
Mas já vimos que existem polos em s=0, ou seja, na fronteira do semiplano esquerdo. Isso quebra o critério, então o sistema não é BIBO estável.

Resposta

Sendo assim:
  • Polos: s=0 (multiplicidade 2) e s=-3.
  • Estabilidade interna: instável (polo repetido em Res=0).
  • BIBO estabilidade: não BIBO estável.

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