Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
b) Segmentos no eixo real;
b) Segmentos no eixo real;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente olhar o sistema em malha aberta
G(s)=
e descobrir em que trechos do eixo real (se existirem) o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) “vive”.
Conteúdo: definição de LGR e, mais especificamente, a regra básica para achar segmentos no eixo real: “um ponto real está no LGR se o número de polos e zeros à direita dele for ímpar”.
O que vamos precisar:
G(s)=
e descobrir em que trechos do eixo real (se existirem) o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) “vive”.
Conteúdo: definição de LGR e, mais especificamente, a regra básica para achar segmentos no eixo real: “um ponto real está no LGR se o número de polos e zeros à direita dele for ímpar”.
O que vamos precisar:
- Listar polos/zeros e marcá-los no eixo real.
- Para cada intervalo entre esses pontos, contar quantos polos+zeros ficam à direita.
- Ver se esse número é ímpar (existe LGR) ou par (não existe).
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os polos e zeros de G(s):
– Zeros: nenhum.
– Polos:
• Um polo em s=−4 (multiplicidade 1)
• Um polo em s=−1, multiplicidade 3 (ou seja, três polos “empilhados” em s=−1)
– Zeros: nenhum.
– Polos:
• Um polo em s=−4 (multiplicidade 1)
• Um polo em s=−1, multiplicidade 3 (ou seja, três polos “empilhados” em s=−1)
No eixo real ficaria assim (da esquerda pra direita):
… — (−∞) — [−4] — (intervalo) — [−1] — (∞)
… — (−∞) — [−4] — (intervalo) — [−1] — (∞)
Passo 3
Agora, para cada intervalo do eixo real, vamos escolher um pontinho e contar quantos polos/zeros estão à direita dele:
- Intervalo (−∞, −4): pego, por exemplo, s=−10.
Polos/zeros à direita de −10: temos o polo em −4 e os três em −1 → total 4 → par → sem LGR. - Intervalo (−4, −1): pego s=−2.
Polos/zeros à direita de −2: só os três polos em −1 → total 3 → ímpar → tem LGR. - Intervalo (−1, ∞): pego s=0.
Polos/zeros à direita de 0: nenhum → total 0 → par → sem LGR.
Passo 4
Resumo da regra:
Se (p + z) à direita = ímpar ⇒ ponto pertence ao lugar das raízes.
Se = par ⇒ não pertence.
Se (p + z) à direita = ímpar ⇒ ponto pertence ao lugar das raízes.
Se = par ⇒ não pertence.
Aplicando, só temos LGR rolando em (−4, −1).
Resposta
O Lugar Geométrico das Raízes no eixo real existe somente no segmento