Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD.
\{\begin{aligned} 2 x-5 y+2 z & =0 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 2 x+k z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 2x - 5y + 2z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x + k\,z = 0, \end{cases}
e pede o valor de k para que o sistema seja SPD (isto é, tenha solução única).
Para isso, vamos usar o fato de que um sistema linear quadrado é SPD exatamente quando o determinante da sua matriz de coeficientes é diferente de zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & k\end{pmatrix} \;-\;(-5)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & k\end{pmatrix} \;+\;2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 0 = k,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 2 = k-2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2.
Substituindo:
\det(A) =2\,(k) \;+\;5\,(k-2) \;+\;2\,(-2) =2k +5k -10 -4 =7k -14.

Passo 3

Para o sistema ser SPD, queremos \det(A)\neq 0. Logo,
7k - 14 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k \neq 2.

Resposta

O sistema é SPD para todo k real, exceto
k = 2.

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