Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD. \{\begin{aligned} 2 x-5 y+2 z & =0 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 2 x+k z & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 2x - 5y + 2z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\\ 2x + k\,z = 0, \end{cases}
e pede o valor de k para que o sistema seja SPD (isto é, tenha solução única).
Para isso, vamos usar o fato de que um sistema linear quadrado é SPD exatamente quando o determinante da sua matriz de coeficientes é diferente de zero.
Passo 2
A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha: