Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x-2 y+z & =1 \\\\ 5 x+w & =5\end{aligned}\}

Passo 1

O enunciado pede para o sistema
\begin{cases} x - y + z + w = 4,\\\\ 2x - y - z = -3,\\\ x - 2y + z = 1,\\\\ 5x + w = 5 \end{cases}
fazer (i) as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid \mathbf{b}], (ii) escalonar [A\mid \mathbf{b}] (eliminação de Gauss), (iii) identificar variáveis livres e dependentes (conceito de pivô), (iv) classificar (teorema de Rouché–Capelli) e (v) resolver quando houver solução.

Passo 2

A matriz de coeficientes A, o vetor dos termos independentes \mathbf{b} e a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}] são
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 5 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4\\\ -3\\\ 1\\\ 5 \end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \vrule & -3\\\\ 1 & -2 & 1 & 0 & \vrule & 1\\\\ 5 & 0 & 0 & 1 & \vrule & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos aplicar eliminação de Gauss em [A\mid \mathbf{b}]:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \vrule & -3\\\\ 1 & -2 & 1 & 0 & \vrule & 1\\\\ 5 & 0 & 0 & 1 & \vrule & 5 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2\!-\!2R_1,\;R_3\!-\!R_1,\;R_4\!-\!5R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & \vrule & -11\\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & \vrule & -3\\\\ 0 & 5 & -5 & -4 & \vrule & -15 \end{pmatrix}
\;\xrightarrow{R_3+R_2,\;R_4-5R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & \vrule & -11\\\\ 0 & 0 & -3 & -3 & \vrule & -14\\\\ 0 & 0 & 10 & 6 & \vrule & 40 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3/(-3)}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & \vrule & -11\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vrule & \tfrac{14}{3}\\\\ 0 & 0 & 10 & 6 & \vrule & 40 \end{pmatrix}
\;\xrightarrow{R_4-10R_3,\;R_2+3R_3,\;R_1-R_3}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & \vrule & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & \vrule & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vrule & \tfrac{14}{3}\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & \vrule & -\tfrac{20}{3} \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_4/(-4)}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & \vrule & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & \vrule & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vrule & \tfrac{14}{3}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vrule & \tfrac{5}{3} \end{pmatrix}.
Esta forma é a forma escalonada reduzida, com pivôs em todas as colunas de x,y,z,w.

Passo 4

Como há pivô em cada coluna de variável ( x,y,z,w), não existem variáveis livres. Todas as variáveis são dependentes (básicas).

Passo 5

O posto de A\) é 4 e o posto de \([A\mid \mathbf{b}]\) também é 4 (igual ao número de incógnitas), logo o sistema é **compatível determinado** (solução única). Da última matriz: \[\begin{cases} x - y = -\tfrac{2}{3},\\\ y + w = 3,\\\ z + w = \tfrac{14}{3},\\\ w = \tfrac{5}{3}. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
(;w=\tfrac{5}{3},;y=3-w=3-\tfrac{5}{3}=\tfrac{4}{3},;z=\tfrac{14}{3}-w=\tfrac{14}{3}-\tfrac{5}{3}=3,;x=y-\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}1&-1&1&1\\\ 2&-1&-1&0\\\ 1&-2&1&0\\\ 5&0&0&1\end{pmatrix},\\ \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix},\\ [A\mid \mathbf{b}]=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \vrule & -3\\\\ 1 & -2 & 1 & 0 & \vrule & 1\\\\ 5 & 0 & 0 & 1 & \vrule & 5 \end{pmatrix}.
O sistema é compatível determinado e a solução única é
(x,y,z,w)=\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},3,\tfrac{5}{3}\Bigr).

Exercícios relacionados