Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD.
\{\begin{aligned} x+2 y+k z & =-1 \\\ k x-y+z & =2 \\\ x+y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x+2y+kz=-1,\\\ kx - y+z=2,\\\ x+y+z=0 \end{cases}
e pede para que ele seja SPD (Sistema Possível e Determinado), ou seja, tenha única solução. Em álgebra linear, isso ocorre se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\\ k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\begin{vmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 1\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}k & 1\\\ 1 & 1\end{vmatrix} +k\begin{vmatrix}k & -1\\\ 1 & 1\end{vmatrix}.

Passo 4

Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 1\end{vmatrix}=-2, \quad \begin{vmatrix}k & 1\\\ 1 & 1\end{vmatrix}=k-1, \quad \begin{vmatrix}k & -1\\\ 1 & 1\end{vmatrix}=k+1.
Substituindo:
\det(A) = 1\cdot(-2) -2\,(k-1) + k\,(k+1) = -2 -2k +2 +k^2 +k = k^2 -k = k(k-1).
Para o sistema ser SPD precisamos de \det(A)\neq 0, ou seja
k(k-1)\neq 0.

Resposta

k\neq 0 \quad\text{e}\quad k\neq 1.

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