Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
\{\begin{aligned} x+2 y-z & =2 \\\\ 2 x-3 y+z & =0 \\\\ 4 x+y-z & =4\end{aligned}\}

Passo 1

O enunciado pede para o sistema
\begin{cases} x + 2y - z = 2,\\\\ 2x - 3y + z = 0,\\\\ 4x + y - z = 4 \end{cases}
(i) escrever a matriz dos coeficientes A, o vetor \mathbf b e a matriz aumentada [A\mid \mathbf b], (ii) escalonar [A\mid \mathbf b], (iii) identificar variáveis livres e dependentes, (iv) classificar o sistema e (v) resolver quando houver solução. O conteúdo requerido é eliminação de Gauss.

Passo 2

(i) Matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}
Matriz aumentada:
[A\mid \mathbf b] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].

Passo 3

(ii) Escalonamento por operações de linha:
1. L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & -7 & 3 & -4 \end{array}\right]
2. L_3 \leftarrow L_3 - L_2
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
que é a forma escalonada.

Passo 4

(iii) Na forma escalonada temos pivôs nas colunas 1 e 2, logo
  • Variáveis dependentes: x e y (colunas com pivô).
  • Variável livre: z.
    (iv) Como não há linha contraditória ( 0 = constante não nula), o sistema é consistente e, com 3 variáveis e 2 pivôs, tem infinitas soluções.

Passo 5

(v) Da segunda linha:
-7y + 3z = -4 \;\Longrightarrow\; y = \frac{3z + 4}{7}.
Chame z = t. Da primeira linha:
x + 2y - z = 2 \;\Longrightarrow\; x = 2 - 2y + z = 2 - 2\frac{3t+4}{7} + t = \frac{6 + t}{7}.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{6+t}{7},\,\tfrac{3t+4}{7},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf b] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].
(ii) Forma escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
(iii) Variáveis livres: z. Variáveis dependentes: x,y.
(iv) Sistema consistente com infinitas soluções.
(v) Solução geral:
(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{6+t}{7},\,\tfrac{3t+4}{7},\,t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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