Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução). \{\begin{aligned} 2 x-y+3 z-w & =2 \\\ x-3 y-2 z+2 w & =4\end{aligned}\}
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 2x - y + 3z - w = 2,\\\ x - 3y - 2z + 2w = 4, \end{cases}
com quatro incógnitas x,y,z,w e duas equações. O conteúdo é eliminação de Gauss para obter forma escalonada, identificação de variáveis livres e dependentes, classificação do sistema (consistente/inconsistente e tipo de solução) e, finalmente, obtenção da solução geral quando existir.
(iii) Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, portanto as variáveis x e y são dependentes. As colunas 3 e 4 não têm pivô, logo z e w são livres.
Passo 4
(iv) Não há linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid c] com c\neq0, então o sistema é consistente. Como o número de variáveis livres (2) é maior que zero, há infinitas soluções.
Passo 5
(v) Para resolver, tomamos parâmetros
z = s,\quad w = t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Da segunda linha escalonada 5y +7z -5w = -6 obtemos
y = \frac{-6 -7s +5t}{5} = -\frac{6}{5} - \frac{7}{5}s + t.
Da primeira linha 2x - y +3z - w =2 substituímos y,z,w:
2x = 2 + y -3s + t = 2 +\Bigl(-\tfrac{6}{5}-\tfrac{7}{5}s + t\Bigr) -3s + t = \tfrac{4}{5} - \tfrac{22}{5}s + 2t,