Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z-w & =2 \\\ x-3 y-2 z+2 w & =4\end{aligned}\}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 2x - y + 3z - w = 2,\\\ x - 3y - 2z + 2w = 4, \end{cases}
com quatro incógnitas x,y,z,w e duas equações. O conteúdo é eliminação de Gauss para obter forma escalonada, identificação de variáveis livres e dependentes, classificação do sistema (consistente/inconsistente e tipo de solução) e, finalmente, obtenção da solução geral quando existir.

Passo 2

(i) As matrizes associadas são
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1\\\\ 1 & -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix},
e a matriz aumentada
[A\mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 1 & -3 & -2 & 2 & \vline & 4 \end{pmatrix}.
(ii) Aplicando eliminação de Gauss em [A\mid \mathbf{b}]:
manter R_{1} e fazer 2\times R_{2} R_{1} \to R_{2}.
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 1 & -3 & -2 & 2 & \vline & 4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{2R_2 - R_1\to R_2}\; \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 0 & -5 & -7 & 5 & \vline & 6 \end{pmatrix}.
Multiplicando a segunda linha por -1 para simplificar:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 0 & 5 & 7 & -5 & \vline & -6 \end{pmatrix}
é a forma escalonada.

Passo 3

(iii) Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, portanto as variáveis x e y são dependentes. As colunas 3 e 4 não têm pivô, logo z e w são livres.

Passo 4

(iv) Não há linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid c] com c\neq0, então o sistema é consistente. Como o número de variáveis livres ( 2) é maior que zero, há infinitas soluções.

Passo 5

(v) Para resolver, tomamos parâmetros
z = s,\quad w = t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Da segunda linha escalonada 5y +7z -5w = -6 obtemos
y = \frac{-6 -7s +5t}{5} = -\frac{6}{5} - \frac{7}{5}s + t.
Da primeira linha 2x - y +3z - w =2 substituímos y,z,w:
2x = 2 + y -3s + t = 2 +\Bigl(-\tfrac{6}{5}-\tfrac{7}{5}s + t\Bigr) -3s + t = \tfrac{4}{5} - \tfrac{22}{5}s + 2t,
logo
x = \frac{2}{5} - \frac{11}{5}s + t.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1\\\\ 1 & -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 1 & -3 & -2 & 2 & \vline & 4 \end{pmatrix}.
(ii)
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -1 & \vline & 2\\\\ 0 & 5 & 7 & -5 & \vline & -6 \end{pmatrix}.
(iii) Variáveis dependentes: x,y. Variáveis livres: z,w.
(iv) Sistema consistente com infinitas soluções.
(v) Solução geral:
\begin{cases} x = \frac{2}{5} - \frac{11}{5}s + t,\\\ y = -\frac{6}{5} - \frac{7}{5}s + t,\\\ z = s,\\\ w = t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados