Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
({-3 x+5 z+4 w=1$
Nesse sistema, y também é uma incógnita.)

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w e apenas uma equação:
-3x + 5z + 4w = 1.
O objetivo é (i) identificar as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid \mathbf{b}], (ii) escalonar [A\mid \mathbf{b}], (iii) achar variáveis livres e dependentes, (iv) classificar o sistema e (v) obter a solução geral.

Passo 2

A matriz dos coeficientes A, o vetor dos termos constantes \mathbf{b} e a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}] são
A = \begin{pmatrix}-3 & 0 & 5 & 4\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf{b}] = \bigl(-3\;\;0\;\;5\;\;4\mid 1\bigr).

Passo 3

Como há só uma linha, o escalonamento consiste em dividir essa linha por -3, obtendo a forma reduzida:
[A\mid \mathbf{b}]\;\sim\;\bigl(1\;\;0\;\;-\tfrac{5}{3}\;\;-\tfrac{4}{3}\mid -\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Na forma escalonada há pivô apenas na coluna de x. Logo
  • variável dependente: x,
  • variáveis livres: y,z,w.

Passo 5

Não há equação contraditória, logo o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 6

Da linha escalonada vem
x - \tfrac{5}{3}z - \tfrac{4}{3}w = -\tfrac{1}{3}.
Definindo parâmetros
y = s,\quad z = t,\quad w = u,\quad s,t,u\in\mathbb{R},
temos
x = \frac{-1 + 5\,t + 4\,u}{3}.

Resposta

(i) A = \begin{pmatrix}-3 & 0 & 5 & 4\end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, [A\mid \mathbf{b}] = \bigl(-3\;\;0\;\;5\;\;4\mid 1\bigr).
(ii) Forma escalonada: \bigl(1\;\;0\;\;-5/3\;\;-4/3\mid -1/3\bigr).
(iii) Variável dependente: x. Variáveis livres: y,z,w.
(iv) Sistema compatível indeterminado.
(v) Solução geral:
\begin{cases} x = \dfrac{-1 + 5t + 4u}{3},\\\ y = s,\\\ z = t,\\\ w = u, \end{cases} \quad s,t,u\in\mathbb{R}.

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