Para cada um dos sistemas lineares abaixo, encontre as matrizes A e \mathbf{b} do sistema e resolva cada um dos sistemas por dois métodos: método da matriz inversa e regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} 3 x+5 y & =4 \\\ x+2 y & =-2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) identificar as matrizes A e \mathbf{b} que representam o sistema linear e (ii) resolver o sistema por dois métodos distintos: o método da matriz inversa e a regra de Cramer.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} 3x+5y=4,\\[4pt] x+2y=-2. \end{cases}
Informações relevantes que temos: os coeficientes das incógnitas nas duas equações e os termos independentes à direita.]

Passo 2

Montar a forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • A matriz dos coeficientes \,A, é formada colocando em cada linha os coeficientes de x e y da respectiva equação. Assim:
A=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
  • O vetor coluna das incógnitas é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • O vetor coluna dos termos independentes é
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Portanto o sistema escrito em forma matricial é
\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Método 1 — matriz inversa: ideia e fórmulas.
Se A for invertível (ou seja, tiver determinante diferente de zero), a solução é
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=ad-bc,
e a inversa (quando \det(A)\neq0) é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz; por exemplo a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, etc.]

Passo 4

Aplicando o método da inversa ao nosso A.
Calcular o determinante:
\det(A)=3\cdot2-5\cdot1=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.
Usando a fórmula da inversa para 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Multiplicação de matriz por vetor: cada componente do resultado é o produto escalar da linha da matriz pelo vetor \mathbf{b}.
Primeira componente (valor de x):
x = 2\cdot4 + (-5)\cdot(-2)=8+10=18.
Segunda componente (valor de y):
y = (-1)\cdot4 + 3\cdot(-2)=-4-6=-10.
Portanto, pelo método da matriz inversa obtemos \mathbf{x}=\begin{pmatrix}18\\[4pt]-10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Método 2 — regra de Cramer: ideia e aplicação.
Regra de Cramer (para sistema 2\times2): se A tem determinante \Delta=\det(A)\neq0, então cada incógnita x_i é dada por
x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},
onde \Delta_i é o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
Já sabemos \Delta=\det(A)=1.
Calcular \Delta_x (substitui a primeira coluna de A por \mathbf{b}):
\Delta_x=\det\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-5\cdot(-2)=8+10=18.
Calcular \Delta_y (substitui a segunda coluna de A por \mathbf{b}):
\Delta_y=\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}=3\cdot(-2)-4\cdot1=-6-4=-10.
Aplicando Cramer:
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{18}{1}=18,\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-10}{1}=-10.]

Passo 6

Verificação rápida (substituir na equação original para garantir que está correto).
Primeira equação:
3\cdot18+5\cdot(-10)=54-50=4,
que coincide com o lado direito 4.
Segunda equação:
1\cdot18+2\cdot(-10)=18-20=-2,
que coincide com o lado direito -2.
Portanto a solução encontrada está correta e os dois métodos deram o mesmo resultado, como esperado.

Resposta

A=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-2\end{pmatrix}
x=18,\;y=-10]

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