Para cada um dos sistemas lineares abaixo, encontre as matrizes
e
do sistema e resolva cada um dos sistemas por dois métodos: método da matriz inversa e regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) identificar as matrizes
e
que representam o sistema linear e (ii) resolver o sistema por dois métodos distintos: o método da matriz inversa e a regra de Cramer.
As equações fornecidas são:
Informações relevantes que temos: os coeficientes das incógnitas nas duas equações e os termos independentes à direita.]
Passo 2
Montar a forma matricial
.
- A matriz dos coeficientes
, é formada colocando em cada linha os coeficientes de e da respectiva equação. Assim:
- O vetor coluna das incógnitas é
- O vetor coluna dos termos independentes é
Portanto o sistema escrito em forma matricial é
Passo 3
Método 1 — matriz inversa: ideia e fórmulas.
Se
for invertível (ou seja, tiver determinante diferente de zero), a solução é
Para uma matriz
o determinante é
e a inversa (quando
) é dada por
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz; por exemplo
é o elemento da primeira linha e primeira coluna, etc.]
Passo 4
Aplicando o método da inversa ao nosso
.
Calcular o determinante:
Como
,
é invertível.
Usando a fórmula da inversa para
:
Agora calculamos
. Multiplicação de matriz por vetor: cada componente do resultado é o produto escalar da linha da matriz pelo vetor
.
Primeira componente (valor de
):
Segunda componente (valor de
):
Portanto, pelo método da matriz inversa obtemos
.]
Passo 5
Método 2 — regra de Cramer: ideia e aplicação.
Regra de Cramer (para sistema
): se
tem determinante
, então cada incógnita
é dada por
onde
é o determinante da matriz obtida substituindo a
-ésima coluna de
pelo vetor
.
Já sabemos
.
Calcular
(substitui a primeira coluna de
por
):
Calcular
(substitui a segunda coluna de
por
):
Aplicando Cramer:
Passo 6
Verificação rápida (substituir na equação original para garantir que está correto).
Primeira equação:
que coincide com o lado direito
.
Segunda equação:
que coincide com o lado direito
.
Portanto a solução encontrada está correta e os dois métodos deram o mesmo resultado, como esperado.