Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=x[n]-2 x[n-1]+x[n-2]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema aí: . O que a gente precisa descobrir é se esse sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam a sistemas que operam em sinais digitais.

Passo 2

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em um instante de tempo depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, e não de valores futuros. Olhando para a equação, temos , e , que são todos valores presentes ou passados. Não tem nenhum ou algo parecido. Então, esse sistema é causal.

Passo 3

Linearidade: Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que se você colocar uma combinação linear de sinais na entrada, a saída também será uma combinação linear das saídas correspondentes. A equação é uma combinação linear dos termos de , sem termos multiplicativos não lineares ou funções aplicadas nos . Portanto, o sistema é linear.

Passo 4

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se suas propriedades não mudam ao longo do tempo. Isso significa que se você deslocar a entrada no tempo, a saída será deslocada da mesma maneira. Na equação, os coeficientes (1, -2, 1) são fixos e não mudam com o tempo. Então, se você der um , a saída será . Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade: Para sistemas lineares e invariantes no tempo, a estabilidade geralmente é verificada pela condição de que a soma dos valores absolutos dos coeficientes seja finita. Aqui, temos , que é um número finito. Portanto, o sistema é estável.

Resposta

O sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável.

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