Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=log x[n]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um sistema definido por e precisamos verificar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e ver como elas se aplicam ao sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não de futuros. No nosso caso, calcula o logaritmo do valor atual de . Não depende de valores futuros, então o sistema é causal.

Passo 3

Agora, vamos ver a linearidade. Um sistema é linear se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Isso significa que . Vamos testar isso com nosso sistema:
Isso não é igual a , já que o logaritmo de uma soma não é igual à soma dos logaritmos. Portanto, o sistema não é linear.

Passo 4

Em seguida, a invariância no tempo. Um sistema �� invariante no tempo se, quando a entrada é atrasada no tempo, a saída também é atrasada da mesma forma. Vamos atrasar a entrada em unidades:
Entrada atrasada:
Saída do sistema:
Isso é igual a atrasar a saída original em unidades. Então, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Por último, vamos analisar a estabilidade. Um sistema é estável se, para entradas limitadas, as saídas também são limitadas. Ou seja, se para algum , então para algum .
No nosso caso, . O logaritmo está definido apenas para , e sua saída pode crescer sem limites conforme aumenta. Por exemplo, se tende para infinito, também tende para infinito. Portanto, o sistema não é estável.

Resposta

O sistema é:
  • Causal
  • Não linear
  • Invariante no tempo
  • Não estável

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