Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um sistema definido por
e precisamos verificar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e ver como elas se aplicam ao sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não de futuros. No nosso caso,
calcula o logaritmo do valor atual de
. Não depende de valores futuros, então o sistema é causal.
Passo 3
Agora, vamos ver a linearidade. Um sistema é linear se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Isso significa que
. Vamos testar isso com nosso sistema:
Isso não é igual a
, já que o logaritmo de uma soma não é igual à soma dos logaritmos. Portanto, o sistema não é linear.
Passo 4
Em seguida, a invariância no tempo. Um sistema �� invariante no tempo se, quando a entrada é atrasada no tempo, a saída também é atrasada da mesma forma. Vamos atrasar a entrada em
unidades:
Entrada atrasada:
Saída do sistema:
Isso é igual a atrasar a saída original
em
unidades. Então, o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Por último, vamos analisar a estabilidade. Um sistema é estável se, para entradas limitadas, as saídas também são limitadas. Ou seja, se
para algum
, então
para algum
.
No nosso caso,
. O logaritmo está definido apenas para
, e sua saída pode crescer sem limites conforme
aumenta. Por exemplo, se
tende para infinito,
também tende para infinito. Portanto, o sistema não é estável.
Resposta
O sistema
é:
- Causal
- Não linear
- Invariante no tempo
- Não estável