Seja xi(t)=cos (2 pi t). Encontre e trace o gráfico da seqüência x[n] obtida a partir da amostragem de xc(t) com
Ta=1
Há algo a ser notado a respeito desses gráficos? Explique os seus resultados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua no tempo, , e precisamos transformar essa função contínua em uma sequência discreta através de amostragem. O tempo de amostragem dado é . Vamos usar conceitos de amostragem de sinais para resolver este problema.

Passo 2

A amostragem de um sinal contínuo significa que vamos pegar valores desse sinal em instantes específicos de tempo, separados por x[n] = xi(nTa) . A fórmula geral para a amostragem é:
Onde:
  • é a sequência discreta.
  • é o sinal contínuo.
  • é o período de amostragem.
  • é um número inteiro que representa o índice da amostra.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso sinal específico. Dado que:
xi(t) = cos(2pi t)
Ta = 1
Substituindo na fórmula de amostragem:
x[n] = cos(2pi cdot n cdot 1) = cos(2pi n)

Passo 4

Agora, vamos calcular alguns valores de x[0] &= cos(2pi cdot 0) = cos(0) = 1 x[1] &= cos(2pi cdot 1) = cos(2pi) = 1 x[2] &= cos(2pi cdot 2) = cos(4pi) = 1 &vdots x[n] &= cos(2pi n) = 1 para todo n in Z para diferentes valores de :

Passo 5

Com base nos cálculos acima, observamos que para qualquer valor de , a sequência sempre resulta em 1. Portanto, o gráfico da sequência será uma linha reta constante no valor 1, independente de .

Passo 6

O que podemos notar aqui é que, apesar do sinal contínuo ser uma função periódica que oscila entre -1 e 1, ao amostrarmos com , todas as amostras coincidem nos picos positivos da função, resultando em uma sequência constante. Isso ocorre porque o período do sinal contínuo é exatamente igual ao período de amostragem, evitando aliasing, mas neste caso específico, simplifica-se para uma sequência constante.

Resposta

A sequência amostrada é:
x[n] = 1 para todo n in Z
O gráfico de é uma linha reta constante no valor 1 para todos os índices .

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