Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Uma peça crítica em uma turbina eólica é um rolamento sujeito a estresse mecânico contínuo. A falha deste componente está associada à fadiga do material. Análises de engenharia de materiais concluíram que a função de risco instantâneo deste rolamento é uma função crescente do tempo: quanto mais tempo o rolamento opera, maior a sua propensão a falhar na próxima hora. O tempo de vida característico, associado à engenharia do material, é de 15.000 horas.

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher um modelo probabilístico para o tempo até a falha do rolamento e justificar a escolha.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A variável de interesse é o tempo até a falha do rolamento (tempo contínuo).
  • A função de risco instantâneo (hazard) é crescente com o tempo: quanto maior o tempo de operação, maior a propensão a falhar na próxima hora.
  • O “tempo de vida característico” associado ao material é de \,15000 horas.
  • O contexto é falha por fadiga de material, comportamento de confiabilidade/vida útil.

Passo 2

Escolha do modelo com base nas informações: como a informação chave é que a função de risco é crescente com o tempo, precisamos de uma família de distribuições de tempo de vida cuja hazard possa crescer. A família de Weibull é a escolha natural e clássica nesses casos porque:
  • É simples e amplamente usada em confiabilidade e engenharia de materiais.
  • Tem parâmetro de forma que controla se o hazard é decrescente, constante ou crescente.
  • Permite incorporar diretamente um “tempo característico” como parâmetro de escala.
Então eu escolho a distribuição de Weibull para modelar o tempo até a falha do rolamento, com parâmetro de forma \beta>1 (para garantir hazard crescente) e parâmetro de escala \eta ligado ao tempo característico.

Passo 3

Definição da distribuição de Weibull e suas funções fundamentais (aula rápida e passo a passo):
  • Variável: seja T o tempo até a falha (horas).
  • Parâmetros: \beta = parâmetro de forma (também chamado de shape); \eta = parâmetro de escala (scale).
  • Função densidade de probabilidade (pdf):
f(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta}\right],\quad t\ge0.
Explicação: \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1} dá a forma da curva e o expoente negativo garante integral igual a 1.
  • Função sobrevivência (probabilidade de sobreviver além de t):
S(t)=\mathbb{P}(T>t)=\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta}\right].
Explicação: é a integral da cauda da pdf; decresce com t.
  • Função de risco (hazard) instantâneo:
h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}.
Explicação: h(t) mede a taxa instantânea de falha dado que o item sobreviveu até t. Note que o sinal de crescimento/decrescimento de h(t) depende de \beta:
  • Se \beta<1: h(t) decresce (falhas por defeitos iniciais).
  • Se \beta=1: h(t) é constante e a Weibull vira exponencial.
  • Se \beta>1: h(t) cresce com t (fenômeno de desgaste/fadiga) — é o caso do enunciado.

Passo 4

Ligando o “tempo de vida característico” \,15000 horas ao parâmetro de escala \eta:
  • Definição comum de “tempo característico” na parametrização Weibull: \eta é o tempo tal que a sobrevivência é \exp(-1). Ou seja,
S(\eta)=\exp\!\left[-\left(\frac{\eta}{\eta}\right)^{\beta}\right]=\exp(-1)\approx0{,}3679.
  • Portanto, se o enunciado chama de “tempo de vida característico” o valor \,15000 horas, então isso significa que podemos tomar
\eta=15000.
Interpretação prática: com essa parametrização, aproximadamente 36{,}8\% dos rolamentos ainda não falharam ao atingir \,15000 horas.

Passo 5

Consequências práticas e exemplo numérico (para fixar):
  • Mantendo \eta=15000 e escolhendo um valor plausível para \beta (>1), temos hazard crescente. Por exemplo, para \beta=2 (caso quadrático simples),
h(t)=\frac{2}{15000}\left(\frac{t}{15000}\right)^{1}.
  • Avaliando em t=15000:
h(15000)=\frac{2}{15000}\approx 1{,}33\times10^{-4}\\ \text{por hora},
ou seja, a taxa instantânea de falha naquele momento é cerca de 0{,}000133 por hora.
  • Probabilidade de falhar na próxima hora dado que o rolamento sobreviveu até t: fórmula exata
\mathbb{P}(t<T\le t+1\mid T>t)=1-\frac{S(t+1)}{S(t)}=1-\exp\!\left[-\left(\frac{(t+1)^{\beta}-t^{\beta}}{\eta^{\beta}}\right)\right].
Para intervalos pequenos (uma hora) e hazard pequeno, aproximamos
\mathbb{P}(\text{falha na próxima hora}\mid T>t)\approx h(t)\cdot 1.ó
No exemplo \beta=2,\,t=15000 isso dá aproximadamente 1{,}33\times10^{-4} (probabilidade por hora).

Passo 6

Por que não outros modelos simples?
  • Exponencial ( \beta=1): tem hazard constante — incompatível com a informação de hazard crescente.
  • Lognormal ou outras com hazard não-monótono: podem ter hazard que sobe e depois desce, o que não é indicado pelo enunciado que afirma monotonicidade crescente.
  • Gompertz e outras famílias também têm hazard crescente e são alternativas; porém Weibull é mais simples, interpretável e muito usada em fadiga de materiais, então é a opção mais prática e justificável quando se conhece apenas que o hazard é crescente e se tem um tempo característico.

Passo 7

O que ainda falta e recomendações para a prova/uso prático:
  • O parâmetro \beta (forma) precisa ser estimado com dados de falhas (por exemplo, método de máxima verossimilhança ou gráfico de Weibull). No enunciado não veio valor, então mantemos \beta>1 e \eta=15000.
  • Em prova: explicar que você escolheu Weibull por permitir hazard crescente e mostrar as fórmulas de f,S,h é suficiente; se pedirem cálculo numérico e derem \beta, basta aplicar as fórmulas acima.
  • Motivação prática para a escolha: engenharia de materiais e análise de fadiga normalmente usam Weibull; \eta tem interpretação direta (tempo característico), o que facilita comunicação com engenheiros.

Resposta

Weibull com parâmetro de escala \eta=15000 e parâmetro de forma \beta>1 (o valor exato de \beta deve ser estimado a partir dos dados), pois a Weibull com \beta>1 produz função de risco instantâneo crescente conforme descrito.

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