Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Um atuador linear em um robô industrial é projetado para parar em uma posição específica. A especificação de engenharia do componente indica que, devido a limitações mecânicas, a posição final de parada sempre ocorrerá dentro de um intervalo de erro de [-0.2 \mathrm{~mm},+0.2 \mathrm{~mm}] em relação ao alvo. O projeto do atuador assume que qualquer ponto dentro deste intervalo de erro é igualmente provável de ser a posição final de parada.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha um modelo probabilístico para tratar a posição final de parada do atuador e justifique essa escolha. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A posição final de parada sempre ocorrerá dentro do intervalo de erro [-0,2\,\mathrm{mm},\; +0,2\,\mathrm{mm}].
O projeto assume que qualquer ponto dentro desse intervalo é igualmente provável de ocorrer.
Portanto, a tarefa é: escolher um modelo probabilístico consistente com essas informações e justificar por que é o modelo adequado.
Passo 2
Primeiro raciocínio (intuído e útil para a prova): quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo e o enunciado diz explicitamente que “qualquer ponto dentro deste intervalo é igualmente provável”, a escolha natural é a distribuição uniforme contínua no intervalo dado. Vou explicar passo a passo por que essa é a melhor escolha e como trabalhar com ela na prova.
Passo 3
Definição e propriedades da distribuição uniforme contínua em um intervalo [a,b]\).
- A distribuição uniforme contínua em \([a,b]\) é o modelo que assume que todos os pontos do intervalo \([a,b]\) têm a mesma densidade de probabilidade.
- A função densidade de probabilidade (PDF) é constante em \([a,b]\) e zero fora. Em fórmulas:
\[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & \text{se } a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicação das variáveis: X\] é a variável aleatória (a posição de erro), \[a e b são os extremos do intervalo onde X pode cair. A integral da PDF em [a,b] deve ser 1, por isso a constante \dfrac{1}{b-a}.
Explicando: a média é o ponto central do intervalo; a variância mede a dispersão e vem da fórmula padrão para uniforme contínua.]
Passo 4
Aplicando ao problema com a=-0,2\,\mathrm{mm}\) e \(b=0,2\,\mathrm{mm}\) (peguei esses valores diretamente do enunciado).
- PDF específica:
\[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{0,2-(-0,2)}=\dfrac{1}{0,4}=2,5\\ \mathrm{mm}^{-1}, & -0,2\le x\le 0,2,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Observação prática: a unidade da densidade é (\mathrm{mm}^{-1}] porque a densidade é probabilidade por unidade de comprimento.
Explicação: aqui mostrei a conta passo a passo; na prova você pode usar a fórmula direta \dfrac{(b-a)^2}{12}.]
Passo 5
Exemplos práticos de uso (como responder rapidamente numa prova):
Probabilidade do erro estar dentro de \pm 0,1\,\mathrm{mm}:
P(|X|\le 0,1)=\frac{\text{comprimento do subintervalo}}{\text{comprimento total}}=\frac{0,2}{0,4}=0,5.
Para qualquer subintervalo [c,d]\subseteq[-0,2,0,2], a probabilidade é simplesmente
P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{0,4}.
Dica rápida: para uniforme, probabilidade = razão dos comprimentos.
Passo 6
Por que não escolher outros modelos (curta justificativa para a prova):
Normal (gaussiana) não é adequado aqui porque tem suporte infinito (permite valores fora de [-0,2,0,2]), enquanto o enunciado garante que a posição sempre ficará no intervalo limitado. Mesmo truncando a normal, o enunciado já diz “qualquer ponto é igualmente provável”, o que aponta diretamente para uniforme.
Modelos discretos (p. ex. distribuição em pontos específicos) não fazem sentido porque a posição é contínua no intervalo.
Modelos assimétricos (triangular, beta assimétrica) não fazem sentido porque o enunciado afirma uniformidade (igual probabilidade).
Resposta
Distribuição uniforme contínua em \big[-0,2\,\mathrm{mm},\;0,2\,\mathrm{mm}\big].