Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Um atuador linear em um robô industrial é projetado para parar em uma posição específica. A especificação de engenharia do componente indica que, devido a limitações mecânicas, a posição final de parada sempre ocorrerá dentro de um intervalo de erro de [-0.2 \mathrm{~mm},+0.2 \mathrm{~mm}] em relação ao alvo. O projeto do atuador assume que qualquer ponto dentro deste intervalo de erro é igualmente provável de ser a posição final de parada.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha um modelo probabilístico para tratar a posição final de parada do atuador e justifique essa escolha. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A posição final de parada sempre ocorrerá dentro do intervalo de erro [-0,2\,\mathrm{mm},\; +0,2\,\mathrm{mm}].
  • O projeto assume que qualquer ponto dentro desse intervalo é igualmente provável de ocorrer.
Portanto, a tarefa é: escolher um modelo probabilístico consistente com essas informações e justificar por que é o modelo adequado.

Passo 2

Primeiro raciocínio (intuído e útil para a prova): quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo e o enunciado diz explicitamente que “qualquer ponto dentro deste intervalo é igualmente provável”, a escolha natural é a distribuição uniforme contínua no intervalo dado. Vou explicar passo a passo por que essa é a melhor escolha e como trabalhar com ela na prova.

Passo 3

Definição e propriedades da distribuição uniforme contínua em um intervalo [a,b]\). - A distribuição uniforme contínua em \([a,b]\) é o modelo que assume que todos os pontos do intervalo \([a,b]\) têm a mesma densidade de probabilidade. - A função densidade de probabilidade (PDF) é constante em \([a,b]\) e zero fora. Em fórmulas: \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & \text{se } a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicação das variáveis: X\] é a variável aleatória (a posição de erro), \[a e b são os extremos do intervalo onde X pode cair. A integral da PDF em [a,b] deve ser 1, por isso a constante \dfrac{1}{b-a}.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\[4pt] 1, & x>b. \end{cases}
Interpretação: F_X(x)\] dá a probabilidade de \(X ser menor ou igual a x. Dentro do intervalo, ela cresce linearmente com x.
  • Media (valor esperado) e variância:
\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}, \qquad \mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}.
Explicando: a média é o ponto central do intervalo; a variância mede a dispersão e vem da fórmula padrão para uniforme contínua.]

Passo 4

Aplicando ao problema com a=-0,2\,\mathrm{mm}\) e \(b=0,2\,\mathrm{mm}\) (peguei esses valores diretamente do enunciado). - PDF específica: \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{0,2-(-0,2)}=\dfrac{1}{0,4}=2,5\\ \mathrm{mm}^{-1}, & -0,2\le x\le 0,2,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Observação prática: a unidade da densidade é (\mathrm{mm}^{-1}] porque a densidade é probabilidade por unidade de comprimento.
  • CDF específica:
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<-0,2,\\[4pt] \dfrac{x-(-0,2)}{0,4}=\dfrac{x+0,2}{0,4}, & -0,2\le x\le 0,2,\\[6pt] 1, & x>0,2. \end{cases}
  • Média:
\mathbb{E}[X]=\dfrac{-0,2+0,2}{2}=0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o erro esperado é zero — faz sentido: intervalo simétrico e probabilidade uniforme.
  • Variância e desvio padrão:
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(0,4)^2}{12}=\dfrac{0,16}{12}=0,0133\overline{3}\\ \mathrm{mm}^2,
\mathrm{SD}(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\approx 0,1155\\ \mathrm{mm}.
Explicação: aqui mostrei a conta passo a passo; na prova você pode usar a fórmula direta \dfrac{(b-a)^2}{12}.]

Passo 5

Exemplos práticos de uso (como responder rapidamente numa prova):
  • Probabilidade do erro estar dentro de \pm 0,1\,\mathrm{mm}:
P(|X|\le 0,1)=\frac{\text{comprimento do subintervalo}}{\text{comprimento total}}=\frac{0,2}{0,4}=0,5.
  • Para qualquer subintervalo [c,d]\subseteq[-0,2,0,2], a probabilidade é simplesmente
P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{0,4}.
Dica rápida: para uniforme, probabilidade = razão dos comprimentos.

Passo 6

Por que não escolher outros modelos (curta justificativa para a prova):
  • Normal (gaussiana) não é adequado aqui porque tem suporte infinito (permite valores fora de [-0,2,0,2]), enquanto o enunciado garante que a posição sempre ficará no intervalo limitado. Mesmo truncando a normal, o enunciado já diz “qualquer ponto é igualmente provável”, o que aponta diretamente para uniforme.
  • Modelos discretos (p. ex. distribuição em pontos específicos) não fazem sentido porque a posição é contínua no intervalo.
  • Modelos assimétricos (triangular, beta assimétrica) não fazem sentido porque o enunciado afirma uniformidade (igual probabilidade).

Resposta

Distribuição uniforme contínua em \big[-0,2\,\mathrm{mm},\;0,2\,\mathrm{mm}\big].

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