Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
, para
. Pede-se:
(a) Determinar o valor de
para que
seja uma fdp.
(b) Obter EX
(c) Obter
(d) Calcular
(a) Determinar o valor de
(b) Obter EX
(c) Obter
(d) Calcular
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
- A densidade de probabilidade é dada por
para o suporte . - Pedidos:
(a) Determinar o valor depara que seja uma fdp.
(b) Calcular.
(c) Calcular.
(d) Calcular. - Informação implícita: fora do intervalo
temos . Para ser fdp, a função deve ser não negativa e integrar 1 em todo o domínio; aqui já garante não-negatividade, então ajustamos pela normalização.
Passo 2
Normalização para achar
.
- Princípio: uma fdp
satisfaz . No nosso caso a integral é só sobre . - Escrevemos a equação de normalização:
- Calculamos a integral passo a passo. A primitiva de
é . Então
- Substituindo na normalização:
Passo 3
Cálculo de
.
- Fórmula usada: para uma variável contínua
com fdp ,
- Aplicando ao nosso caso (lembre que fora de
a fdp é zero):
- Observação útil (paridade): a função
é ímpar, isto é, . A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Assim
- Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
- Fórmula usada:
. Já temos , então . - Calculamos
:
- A primitiva de
é . Então
- Substituindo
:
- Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
- Probabilidade acumulada: para variável contínua
- No nosso caso
- Calculamos a expressão entre colchetes:
- Somando frações com denominador comum
:
- Multiplicando por
:
- (Para intuição:
, maior que porque a fdp concentra mais massa longe de zero, mas o suporte é simétrico.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)