Seja X uma variável aleatória com fdp dada por f_{X}(x)=c x^{2}, para \mathcal{X}=(-1,1). Pede-se:
(a) Determinar o valor de c para que f_{X}(x) seja uma fdp.
(b) Obter EX
(c) Obter \operatorname{Var} X
(d) Calcular P(X \leq 1 / 2)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
  • A densidade de probabilidade é dada por f_{X}(x)=c\,x^{2} para o suporte \mathcal{X}=(-1,1).
  • Pedidos:
    (a) Determinar o valor de c para que f_{X} seja uma fdp.
    (b) Calcular E[X].
    (c) Calcular \operatorname{Var}X.
    (d) Calcular P\bigl(X\leq \tfrac{1}{2}\bigr).
  • Informação implícita: fora do intervalo (-1,1) temos f_X(x)=0. Para ser fdp, a função deve ser não negativa e integrar 1 em todo o domínio; aqui x^{2}\ge 0 já garante não-negatividade, então ajustamos c pela normalização.

Passo 2

Normalização para achar c.
  • Princípio: uma fdp f_X satisfaz \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1. No nosso caso a integral é só sobre (-1,1).
  • Escrevemos a equação de normalização:
\int_{-1}^{1} c\,x^{2}\,dx = 1.
  • Calculamos a integral passo a passo. A primitiva de x^{2} é x^{3}/3. Então
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \frac{1-(-1)}{3} = \frac{2}{3}.
  • Substituindo na normalização:
c\cdot \frac{2}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{3}{2}.

Passo 3

Cálculo de E[X].
  • Fórmula usada: para uma variável contínua X com fdp f_X,
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
  • Aplicando ao nosso caso (lembre que fora de (-1,1) a fdp é zero):
E[X] = \int_{-1}^{1} x\cdot c x^{2}\,dx = c\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx.
  • Observação útil (paridade): a função x^{3} é ímpar, isto é, x^{3}=-(-x)^{3}. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Assim
\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0.
  • Portanto
E[X] = c\cdot 0 = 0.

Passo 4

Cálculo de \operatorname{Var}X.
  • Fórmula usada: \operatorname{Var}X = E[X^{2}] - (E[X])^{2}. Já temos E[X]=0, então \operatorname{Var}X = E[X^{2}].
  • Calculamos E[X^{2}]:
E[X^{2}] = \int_{-1}^{1} x^{2}\,f_X(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{2}\cdot c x^{2}\,dx = c\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx.
  • A primitiva de x^{4} é x^{5}/5. Então
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}-(-1)^{5}}{5} = \frac{1-(-1)}{5} = \frac{2}{5}.
  • Substituindo c=\tfrac{3}{2}:
E[X^{2}] = \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.
  • Portanto
\operatorname{Var}X = \frac{3}{5}.

Passo 5

Cálculo de P\bigl(X\leq \tfrac{1}{2}\bigr).
  • Probabilidade acumulada: para variável contínua
P\bigl(X\leq x_{0}\bigr) = \int_{-\infty}^{x_{0}} f_X(x)\,dx.
  • No nosso caso
P\Bigl(X\leq \tfrac{1}{2}\Bigr) = \int_{-1}^{1/2} c\,x^{2}\,dx = c\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1/2}.
  • Calculamos a expressão entre colchetes:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1/2} = \frac{(1/2)^{3}}{3} - \frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1/8}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{24} + \frac{1}{3}.
  • Somando frações com denominador comum 24:
\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}.
  • Multiplicando por c=\tfrac{3}{2}:
P\Bigl(X\leq \tfrac{1}{2}\Bigr) = \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16}.
  • (Para intuição: \tfrac{9}{16}=0{,}5625, maior que 1/2 porque a fdp x^{2} concentra mais massa longe de zero, mas o suporte é simétrico.)

Resposta

(a) c=\dfrac{3}{2}
(b) E[X]=0
(c) \operatorname{Var}X=\dfrac{3}{5}
(d) P\bigl(X\leq \tfrac{1}{2}\bigr)=\dfrac{9}{16}

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