Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Uma linha de produção automatizada fabrica um tipo específico de parafuso. O processo é estável e a especificação de projeto assume uma probabilidade constante de
de um parafuso apresentar uma não conformidade dimensional. Para auditoria, um robô coleta uma caixa com 50 parafusos de um grande container. O interesse da engenharia de qualidade está na contagem de parafusos não conformes que podem ser encontrados dentro desta caixa específica.
Uma linha de produção automatizada fabrica um tipo específico de parafuso. O processo é estável e a especificação de projeto assume uma probabilidade constante de
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede o que segue:
- Processo de fabricação estável e a especificação assume probabilidade constante de não conformidade igual a
(ou seja, ). - Um robô coleta uma caixa com
parafusos de um grande container. - O interesse é a contagem de parafusos não conformes nessa caixa específica (ou seja, quantos defeituosos aparecem entre esses
parafusos).
Passo 2
Escolho o modelo binomial para a variável aleatória que conta o número de parafusos não conformes na caixa:
Aqui
é a contagem de não conformes na amostra de
e
é a probabilidade que cada parafuso, individualmente, seja não conforme.
Passo 3
Justificativa das hipóteses do modelo binomial, ligando ao enunciado:
- Ensaios fixos em número: temos um número fixo de observações (a caixa com
parafusos). - Dois resultados por ensaio: cada parafuso é ou “não conforme” (sucesso, digamos) ou “conforme” (falha no sentido de não contar como não conforme) — são apenas duas categorias relevantes.
- Probabilidade constante: o enunciado diz explicitamente que a especificação assume probabilidade constante
de não conformidade, ou seja, cada parafuso tem a mesma chance de ser não conforme. - Independência (ou boa aproximação): como o container é grande e o processo é estável, a retirada de um parafuso não muda materialmente a chance para os demais — portanto podemos tratar os ensaios como aproximadamente independentes. Se a população fosse pequena e a amostragem sem reposição mudasse, seria necessário outro modelo (ver Passo 7).
Esses quatro pontos são exatamente as hipóteses do modelo binomial, logo o uso de
está adequado.
Passo 4
Fórmula da probabilidade (PMF) e interpretação das partes:
Explicação:
conta de quantas maneiras podemos escolher quais
parafusos,
é a probabilidade de esses
serem não conformes e
é a probabilidade dos restantes serem conformes.
Passo 5
Medidas de posição e dispersão úteis para interpretar resultados:
- Valor esperado:
Interpretação: em média esperamos encontrar
parafuso não conforme por caixa de
— ou seja, menos de um por caixa, o que faz sentido dado
pequeno.
- Variância:
- Desvio padrão aproximado:
Interpretação: a dispersão é relativamente pequena — a contagem normalmente ficará próxima de 0 ou 1 na maioria das caixas.
Passo 6
Exemplo de uso prático e aproximação de Poisson:
- Quando
é relativamente grande e é pequeno, com moderado, a binomial pode ser bem aproximada pela Poisson de parâmetro . Aqui . - Aproximação:
. Por exemplo, a probabilidade de a caixa não ter nenhum não conforme: - Exatamente (binomial):
- Aproximação (Poisson):
Essas duas quantidades são muito próximas, mostrando que a aproximação de Poisson é eficiente se você precisar de cálculos rápidos sem muito esforço de computador/calculadora.
Passo 7
Observação sobre alternativa (hipergeométrica) e quando usá-la:
- Se o container fosse pequeno e conhecido (por exemplo, só
parafusos no container e você retirou sem reposição) e a proporção de não conformes no container fosse conhecida exatamente, então o modelo correto seria o hipergeométrico, que trata a dependência exata entre retiradas sem reposição. - Como o enunciado diz “um grande container” e afirma probabilidade constante (processo estável), a dependência por retirada é negligenciável e o binomial é a escolha prática e correta.
Resposta
Modelo:
.