Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Uma linha de produção automatizada fabrica um tipo específico de parafuso. O processo é estável e a especificação de projeto assume uma probabilidade constante de 1,5 \% de um parafuso apresentar uma não conformidade dimensional. Para auditoria, um robô coleta uma caixa com 50 parafusos de um grande container. O interesse da engenharia de qualidade está na contagem de parafusos não conformes que podem ser encontrados dentro desta caixa específica.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede o que segue:
  • Processo de fabricação estável e a especificação assume probabilidade constante de não conformidade igual a \,0{,}015 (ou seja, 1{,}5\%).
  • Um robô coleta uma caixa com 50 parafusos de um grande container.
  • O interesse é a contagem de parafusos não conformes nessa caixa específica (ou seja, quantos defeituosos aparecem entre esses 50 parafusos).

Passo 2

Escolho o modelo binomial para a variável aleatória que conta o número de parafusos não conformes na caixa:
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=50,\; p=0{,}015\bigr).
Aqui X é a contagem de não conformes na amostra de n=50 e p é a probabilidade que cada parafuso, individualmente, seja não conforme.

Passo 3

Justificativa das hipóteses do modelo binomial, ligando ao enunciado:
  • Ensaios fixos em número: temos um número fixo de observações (a caixa com n=50 parafusos).
  • Dois resultados por ensaio: cada parafuso é ou “não conforme” (sucesso, digamos) ou “conforme” (falha no sentido de não contar como não conforme) — são apenas duas categorias relevantes.
  • Probabilidade constante: o enunciado diz explicitamente que a especificação assume probabilidade constante \,p=0{,}015 de não conformidade, ou seja, cada parafuso tem a mesma chance de ser não conforme.
  • Independência (ou boa aproximação): como o container é grande e o processo é estável, a retirada de um parafuso não muda materialmente a chance para os demais — portanto podemos tratar os ensaios como aproximadamente independentes. Se a população fosse pequena e a amostragem sem reposição mudasse, seria necessário outro modelo (ver Passo 7).
Esses quatro pontos são exatamente as hipóteses do modelo binomial, logo o uso de \mathrm{Bin}(50,0{,}015) está adequado.

Passo 4

Fórmula da probabilidade (PMF) e interpretação das partes:
\Pr(X=k)=\binom{50}{k}\, (0{,}015)^{k}\, (1-0{,}015)^{50-k},\qquad k=0,1,2,\dots,50.
Explicação: \binom{50}{k} conta de quantas maneiras podemos escolher quais k parafusos, (0{,}015)^{k} é a probabilidade de esses k serem não conformes e (1-0{,}015)^{50-k} é a probabilidade dos restantes serem conformes.

Passo 5

Medidas de posição e dispersão úteis para interpretar resultados:
  • Valor esperado:
\mathbb{E}[X]=n p = 50\cdot 0{,}015 = 0{,}75.
Interpretação: em média esperamos encontrar 0{,}75 parafuso não conforme por caixa de 50 — ou seja, menos de um por caixa, o que faz sentido dado p pequeno.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X)=n p(1-p)=50\cdot 0{,}015\cdot 0{,}985 = 0{,}73875.
  • Desvio padrão aproximado:
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\approx 0{,}8595.
Interpretação: a dispersão é relativamente pequena — a contagem normalmente ficará próxima de 0 ou 1 na maioria das caixas.

Passo 6

Exemplo de uso prático e aproximação de Poisson:
  • Quando n é relativamente grande e p é pequeno, com \lambda=n p moderado, a binomial pode ser bem aproximada pela Poisson de parâmetro \lambda. Aqui \lambda=50\cdot 0{,}015=0{,}75.
  • Aproximação: X\approx\mathrm{Pois}(\lambda=0{,}75). Por exemplo, a probabilidade de a caixa não ter nenhum não conforme:
    • Exatamente (binomial):
    \Pr(X=0)=(1-0{,}015)^{50}=(0{,}985)^{50}\approx 0{,}4696.
    • Aproximação (Poisson):
    \Pr(X=0)\approx e^{-0{,}75}\approx 0{,}4724.Essas duas quantidades são muito próximas, mostrando que a aproximação de Poisson é eficiente se você precisar de cálculos rápidos sem muito esforço de computador/calculadora.

Passo 7

Observação sobre alternativa (hipergeométrica) e quando usá-la:
  • Se o container fosse pequeno e conhecido (por exemplo, só N parafusos no container e você retirou n=50 sem reposição) e a proporção de não conformes no container fosse conhecida exatamente, então o modelo correto seria o hipergeométrico, que trata a dependência exata entre retiradas sem reposição.
  • Como o enunciado diz “um grande container” e afirma probabilidade constante (processo estável), a dependência por retirada é negligenciável e o binomial é a escolha prática e correta.

Resposta

Modelo: X\sim\mathrm{Bin}(50,0{,}015).

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