Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Um diodo emissor de luz (LED) de uso industrial é projetado para falhar apenas devido a eventos elétricos externos e imprevisíveis, não por degradação do material. Análises de engenharia do componente revelaram que sua função de risco instantâneo (taxa de falha) é constante ao longo do tempo. O tempo médio para falha (MTTF) deste componente é de 40.000 horas. O objetivo é modelar o tempo até que um LED recém-instalado venha a falhar.

Passo 1

O que o enunciado pede: modelar o tempo até que um LED recém-instalado venha a falhar.
Informações dadas pelo enunciado:
  • O LED falha apenas por eventos elétricos externos e imprevisíveis (ou seja, não há degradação determinística ao longo do tempo).
  • A função de risco instantâneo (taxa de falha) do componente é constante ao longo do tempo.
  • O tempo médio para falha (MTTF) é \;40000 horas.
    Não começamos a resolver aqui; apenas listamos o objetivo e os dados relevantes acima.

Passo 2

Escolha do modelo: explicar por que um modelo com taxa de falha constante leva à distribuição exponencial.
Definição do que queremos modelar: seja \;T a variável aleatória “tempo até a falha” (em horas) do LED recém-instalado. Queremos uma distribuição para \;T.
Conceito chave (taxa de falha/hazard): a função de risco (hazard) \;h(t) é definida por
h(t)=\frac{f(t)}{S(t)},
onde \;f(t) é a densidade de probabilidade de \;T e \;S(t)=P(T>t) é a função de sobrevivência. Se \;h(t) é constante (digamos \;h(t)=\lambda para todo \;t\ge0), isso implica a equação diferencial para a sobrevivência:
\frac{d}{dt}S(t)=-\lambda S(t).
Resolvendo essa equação diferencial (separando as variáveis e integrando) obtemos
S(t)=e^{-\lambda t}.
A partir de \;S(t) obtemos a densidade
f(t)=-\frac{d}{dt}S(t)=\lambda e^{-\lambda t}.
Essa família de densidades é precisamente a distribuição exponencial. Portanto, quando a taxa de falha é constante, o modelo natural e matematicamente coerente para o tempo até falha é a distribuição exponencial.

Passo 3

Apresentar a distribuição exponencial e interpretar suas fórmulas (ensinar a matéria passo a passo).
Definição: \;T tem distribuição exponencial com parâmetro \;\lambda>0 se sua densidade for
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0,
sua função de distribuição for
F(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t},
e sua função de sobrevivência for
S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t}.
Interpretação das quantidades:
  • \;f(t) é a taxa instantânea de probabilidade de falha exatamente no instante \;t.
  • \;F(t) dá a probabilidade de ter falhado até o instante \;t.
  • \;S(t) dá a probabilidade de ainda estar funcionando após \;t horas.
Propriedade útil (memória/sem memória): a exponencial satisfaz
P(T>s+t\mid T>t)=P(T>s),
ou seja, a probabilidade de sobreviver mais \;s horas dado que já sobreviveu \;t horas não depende de \;t. Em termos de confiabilidade: para componentes com risco constante, “idade” não altera a distribuição do tempo restante — a falha é imprevisível e não acumulativa.

Passo 4

Relacionar MTTF com o parâmetro \lambda e calcular \lambda.
Fórmula do valor esperado (média) da exponencial: se \;T\sim\text{Exponencial}(\lambda), então
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt=\frac{1}{\lambda}.
(Obs.: essa integral pode ser feita por partes: tomar u=t, dv=\lambda e^{-\lambda t}dt.)
Dado que o enunciado fornece \;\mathsf{MTTF}=\mathbb{E}[T]=40000 horas, temos
\frac{1}{\lambda}=40000 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{40000}.
Em notação decimal:
\lambda=\frac{1}{40000}=0,000025=2,5\times 10^{-5}\;\text{h}^{-1}.

Passo 5

Escrever explicitamente as fórmulas do modelo com o valor numérico do parâmetro e mostrar exemplos de cálculo de probabilidades (para usar na prova).
Com \;\lambda=1/40000, o modelo fica:
f(t)=\frac{1}{40000}e^{-t/40000},\qquad t\ge 0,
S(t)=e^{-t/40000},
F(t)=1-e^{-t/40000}.
Exemplos práticos (como calcular na prova):
  • Probabilidade de o LED durar mais que \;10000 horas:
P(T>10000)=S(10000)=e^{-10000/40000}=e^{-0,25}\approx 0,7788.
  • Probabilidade de falhar nos primeiros \;10000 horas:
P(T\le 10000)=1-e^{-0,25}\approx 0,2212.
  • Uso da propriedade memória: se o LED já sobreviveu \;30000 horas, a probabilidade de sobreviver mais \;20000 horas é
P(T>50000\mid T>30000)=P(T>20000)=e^{-20000/40000}=e^{-0,5}\approx 0,6065.
Esses exemplos mostram como aplicar as fórmulas em questões de prova para obter probabilidades de interesse.

Passo 6

Resumo e justificativa final (motivação prática para usar exponencial no contexto dado).
Porque escolher a exponencial:
  • O enunciado diz explicitamente que a taxa de falha é constante: isso é a hipótese definidora da distribuição exponencial.
  • A exponencial é a distribuição mais simples que incorpora essa propriedade e tem interpretação direta na confiabilidade (memória nula, fácil cálculo de probabilidades).
  • O parâmetro é diretamente obtido do MTTF com \;\lambda=1/\mathsf{MTTF}, o que torna a aplicação prática imediata.

Resposta

Distribuição exponencial para o tempo até falha: \;T\sim\text{Exponencial}(\lambda) com \displaystyle \lambda=\frac{1}{40000}=0,000025=2,5\times 10^{-5}\;\text{h}^{-1}.

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