Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Um diodo emissor de luz (LED) de uso industrial é projetado para falhar apenas devido a eventos elétricos externos e imprevisíveis, não por degradação do material. Análises de engenharia do componente revelaram que sua função de risco instantâneo (taxa de falha) é constante ao longo do tempo. O tempo médio para falha (MTTF) deste componente é de 40.000 horas. O objetivo é modelar o tempo até que um LED recém-instalado venha a falhar.
Um diodo emissor de luz (LED) de uso industrial é projetado para falhar apenas devido a eventos elétricos externos e imprevisíveis, não por degradação do material. Análises de engenharia do componente revelaram que sua função de risco instantâneo (taxa de falha) é constante ao longo do tempo. O tempo médio para falha (MTTF) deste componente é de 40.000 horas. O objetivo é modelar o tempo até que um LED recém-instalado venha a falhar.
Passo 1
O que o enunciado pede: modelar o tempo até que um LED recém-instalado venha a falhar.
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- O LED falha apenas por eventos elétricos externos e imprevisíveis (ou seja, não há degradação determinística ao longo do tempo).
- A função de risco instantâneo (taxa de falha) do componente é constante ao longo do tempo.
- O tempo médio para falha (MTTF) é
horas.
Não começamos a resolver aqui; apenas listamos o objetivo e os dados relevantes acima.
Passo 2
Escolha do modelo: explicar por que um modelo com taxa de falha constante leva à distribuição exponencial.
Definição do que queremos modelar: seja a variável aleatória “tempo até a falha” (em horas) do LED recém-instalado. Queremos uma distribuição para
.
Definição do que queremos modelar: seja
Conceito chave (taxa de falha/hazard): a função de risco (hazard)
é definida por
onde
é a densidade de probabilidade de
e
é a função de sobrevivência. Se
é constante (digamos
para todo
), isso implica a equação diferencial para a sobrevivência:
Resolvendo essa equação diferencial (separando as variáveis e integrando) obtemos
A partir de
obtemos a densidade
Essa família de densidades é precisamente a distribuição exponencial. Portanto, quando a taxa de falha é constante, o modelo natural e matematicamente coerente para o tempo até falha é a distribuição exponencial.
Passo 3
Apresentar a distribuição exponencial e interpretar suas fórmulas (ensinar a matéria passo a passo).
Definição: tem distribuição exponencial com parâmetro
se sua densidade for
Definição:
sua função de distribuição for
e sua função de sobrevivência for
Interpretação das quantidades:
-
é a taxa instantânea de probabilidade de falha exatamente no instante . -
dá a probabilidade de ter falhado até o instante . -
dá a probabilidade de ainda estar funcionando após horas.
Propriedade útil (memória/sem memória): a exponencial satisfaz
ou seja, a probabilidade de sobreviver mais
horas dado que já sobreviveu
horas não depende de
. Em termos de confiabilidade: para componentes com risco constante, “idade” não altera a distribuição do tempo restante — a falha é imprevisível e não acumulativa.
Passo 4
Relacionar MTTF com o parâmetro
e calcular
.
Fórmula do valor esperado (média) da exponencial: se , então
Fórmula do valor esperado (média) da exponencial: se
(Obs.: essa integral pode ser feita por partes: tomar
,
.)
Dado que o enunciado fornece
horas, temos
Em notação decimal:
Passo 5
Escrever explicitamente as fórmulas do modelo com o valor numérico do parâmetro e mostrar exemplos de cálculo de probabilidades (para usar na prova).
Com , o modelo fica:
Com
Exemplos práticos (como calcular na prova):
- Probabilidade de o LED durar mais que
horas:
- Probabilidade de falhar nos primeiros
horas:
- Uso da propriedade memória: se o LED já sobreviveu
horas, a probabilidade de sobreviver mais horas é
Esses exemplos mostram como aplicar as fórmulas em questões de prova para obter probabilidades de interesse.
Passo 6
Resumo e justificativa final (motivação prática para usar exponencial no contexto dado).
Porque escolher a exponencial:
Porque escolher a exponencial:
- O enunciado diz explicitamente que a taxa de falha é constante: isso é a hipótese definidora da distribuição exponencial.
- A exponencial é a distribuição mais simples que incorpora essa propriedade e tem interpretação direta na confiabilidade (memória nula, fácil cálculo de probabilidades).
- O parâmetro é diretamente obtido do MTTF com
, o que torna a aplicação prática imediata.
Resposta
Distribuição exponencial para o tempo até falha:
com
.