Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Em uma população isolada de uma espécie de planta, um alelo para a cor da flor (vermelho) tem uma frequência estabelecida. A teoria da genética de populações prevê que a probabilidade de uma planta individual apresentar flores vermelhas é de 25 \%. Um botânico coleta sementes de 20 plantas diferentes para cultivo em laboratório. O interesse dele é modelar a quantidade de plantas, dentre as 20 , que exibirão flores vermelhas.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que vou modelar:
  • Em uma população isolada, a probabilidade de uma planta individual apresentar flores vermelhas é de 25\% (ou seja, p=0,25).
  • Um botânico coleta sementes de 20 plantas diferentes e as cultiva em laboratório (portanto há n=20 plantas observadas).
  • O interesse é modelar a quantidade de plantas, dentre essas 20, que exibirão flores vermelhas — ou seja, a variável de interesse é o número de plantas com flor vermelha entre as 20.

Passo 2

Identificando o tipo de resultado de cada planta: para cada planta observada há apenas dois resultados relevantes para o problema — “tem flor vermelha” (sucesso) ou “não tem flor vermelha” (falha). Isso significa que cada observação é um ensaio com resultado binário. Quando temos vários ensaios desse tipo (aqui 20 ensaios), um modelo natural é o que conta quantos sucessos ocorrem em n ensaios idênticos.

Passo 3

Apresento o modelo: a distribuição binomial. Vou definir e explicar a fórmula para você entender direitinho. Seja X a variável que conta o número de plantas com flor vermelha entre as 20. Dizemos que
X \sim \mathrm{Bin}(n,p)
onde
  • n é o número fixo de ensaios (aqui n=20);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,25).
A função de probabilidade (pmf) da binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k},
onde k\in\{0,1,\dots,n\} e \binom{n}{k} (lê-se “ n escolhe k”) é o número de maneiras diferentes de escolher quais k ensaios serão os sucessos. Explicando cada termo:
  • \binom{n}{k} conta as combinações distintas de posições dos k sucessos entre os n ensaios;
  • p^k é a probabilidade de ocorrerem sucessos exatamente nas k posições escolhidas;
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de ocorrerem fracassos nas demais n-k posições.
Então, para este problema usamos n=20 e p=0,25, ou seja
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(20,0,25\bigr)
e para qualquer k a probabilidade de exatamente k plantas vermelhas é dada pela fórmula acima com esses valores.

Passo 4

Quais são as hipóteses/pressupostos da binomial e por que aqui eles são razoáveis (ou quando não seriam)? Vou explicar cada uma para você poder defender o modelo na prova:
  1. Número fixo de ensaios: precisamos ter um número definido de observações n. Aqui temos n=20 sementes/plantas — condição satisfeita.
  2. Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes: “vermelha” ou “não vermelha” — condição satisfeita.
  3. Probabilidade de sucesso constante p em cada ensaio: o enunciado diz que a probabilidade de uma planta ser vermelha é 25\%, então assumimos p=0,25 igual para todas.
  4. Independência entre ensaios: a ocorrência de vermelho numa planta não deve alterar a probabilidade nas outras. Como o botânico coletou sementes de 20 plantas diferentes e cultivou independentemente, é razoável supor independência.
Quando a independência ou igualdade de p não vale (por exemplo, se as 20 sementes viessem de um número pequeno de plantas-mãe de modo que há forte correlação genética, ou se estamos amostrando sem reposição de uma população finita pequena), então o modelo binomial poderia falhar e seria mais adequado usar a distribuição hipergeométrica. Mas o enunciado permite assumir as condições da binomial.

Passo 5

Resultados úteis e como calcular probabilidades na prática (para você usar na prova):
  • Valor esperado (média) de X:
E[X]=np=20\cdot 0,25=5.
Interpretação: em média espera-se obter 5 plantas vermelhas entre as 20.
  • Variância e desvio padrão:
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=20\cdot 0,25\cdot 0,75=3,75,
\text{desvio padrão}=\sqrt{3,75}\approx1,936.ã
  • Exemplo de probabilidade exata: probabilidade de exatamente 5 plantas vermelhas
P(X=5)=\binom{20}{5}\,(0,25)^5\,(0,75)^{15}.
Você pode calcular numericamente na calculadora da prova quando precisar. Note que \binom{20}{5}=15504.
  • Probabilidade de pelo menos uma planta vermelha:
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0,75)^{20}.
Uma aproximação rápida (usando logaritmos ou calculadora) dá (0,75)^{20}\approx 0,00317, então P(X\ge1)\approx0,9968. Isso mostra que é quase certo haver pelo menos uma planta vermelha.

Passo 6

Modelos alternativos e aproximações — quando usar:
  • Hipergeométrica: se você estivesse retirando sementes de uma população finita muito pequena sem reposição e soubesse exatamente quantos indivíduos vermelhos existe na população total, então a hipergeométrica seria correta.
  • Aproximação de Poisson: quando n é grande e p é muito pequeno com np moderado (por exemplo np\approx\lambda), a binomial pode ser aproximada por uma Poisson. Aqui p=0,25 não é pequeno, então Poisson não é adequada.
  • Aproximação normal: quando np e n(1-p) são grandes (regra prática: ambos maiores que 5), a binomial pode ser aproximada por uma normal para facilitar cálculos. Aqui np=5 é limite, então a aproximação normal é marginal; prefira a binomial exata.

Resposta

Modelo: X\sim\mathrm{Bin}\bigl(20,0,25\bigr). Justificativa: há n=20 ensaios com resultados binários (vermelha / não vermelha), probabilidade constante p=0,25 em cada ensaio e (razonavelmente) independência entre plantas; assim a binomial descreve o número de sucessos.

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