Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Em uma população isolada de uma espécie de planta, um alelo para a cor da flor (vermelho) tem uma frequência estabelecida. A teoria da genética de populações prevê que a probabilidade de uma planta individual apresentar flores vermelhas é de
. Um botânico coleta sementes de 20 plantas diferentes para cultivo em laboratório. O interesse dele é modelar a quantidade de plantas, dentre as 20 , que exibirão flores vermelhas.
Em uma população isolada de uma espécie de planta, um alelo para a cor da flor (vermelho) tem uma frequência estabelecida. A teoria da genética de populações prevê que a probabilidade de uma planta individual apresentar flores vermelhas é de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que vou modelar:
- Em uma população isolada, a probabilidade de uma planta individual apresentar flores vermelhas é de
(ou seja, ). - Um botânico coleta sementes de
plantas diferentes e as cultiva em laboratório (portanto há plantas observadas). - O interesse é modelar a quantidade de plantas, dentre essas
, que exibirão flores vermelhas — ou seja, a variável de interesse é o número de plantas com flor vermelha entre as .
Passo 2
Identificando o tipo de resultado de cada planta: para cada planta observada há apenas dois resultados relevantes para o problema — “tem flor vermelha” (sucesso) ou “não tem flor vermelha” (falha). Isso significa que cada observação é um ensaio com resultado binário. Quando temos vários ensaios desse tipo (aqui
ensaios), um modelo natural é o que conta quantos sucessos ocorrem em
ensaios idênticos.
Passo 3
Apresento o modelo: a distribuição binomial. Vou definir e explicar a fórmula para você entender direitinho. Seja
a variável que conta o número de plantas com flor vermelha entre as
. Dizemos que
onde
-
é o número fixo de ensaios (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ).
A função de probabilidade (pmf) da binomial é
onde
e
(lê-se “
escolhe
”) é o número de maneiras diferentes de escolher quais
ensaios serão os sucessos. Explicando cada termo:
-
conta as combinações distintas de posições dos sucessos entre os ensaios; -
é a probabilidade de ocorrerem sucessos exatamente nas posições escolhidas; -
é a probabilidade de ocorrerem fracassos nas demais posições.
Então, para este problema usamos
e
, ou seja
e para qualquer
a probabilidade de exatamente
plantas vermelhas é dada pela fórmula acima com esses valores.
Passo 4
Quais são as hipóteses/pressupostos da binomial e por que aqui eles são razoáveis (ou quando não seriam)? Vou explicar cada uma para você poder defender o modelo na prova:
- Número fixo de ensaios: precisamos ter um número definido de observações
. Aqui temos sementes/plantas — condição satisfeita. - Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes: “vermelha” ou “não vermelha” — condição satisfeita.
- Probabilidade de sucesso constante
em cada ensaio: o enunciado diz que a probabilidade de uma planta ser vermelha é , então assumimos igual para todas. - Independência entre ensaios: a ocorrência de vermelho numa planta não deve alterar a probabilidade nas outras. Como o botânico coletou sementes de
plantas diferentes e cultivou independentemente, é razoável supor independência.
Quando a independência ou igualdade de
não vale (por exemplo, se as
sementes viessem de um número pequeno de plantas-mãe de modo que há forte correlação genética, ou se estamos amostrando sem reposição de uma população finita pequena), então o modelo binomial poderia falhar e seria mais adequado usar a distribuição hipergeométrica. Mas o enunciado permite assumir as condições da binomial.
Passo 5
Resultados úteis e como calcular probabilidades na prática (para você usar na prova):
- Valor esperado (média) de
:
Interpretação: em média espera-se obter
plantas vermelhas entre as
.
- Variância e desvio padrão:
- Exemplo de probabilidade exata: probabilidade de exatamente
plantas vermelhas
Você pode calcular numericamente na calculadora da prova quando precisar. Note que
.
- Probabilidade de pelo menos uma planta vermelha:
Uma aproximação rápida (usando logaritmos ou calculadora) dá
, então
. Isso mostra que é quase certo haver pelo menos uma planta vermelha.
Passo 6
Modelos alternativos e aproximações — quando usar:
- Hipergeométrica: se você estivesse retirando sementes de uma população finita muito pequena sem reposição e soubesse exatamente quantos indivíduos vermelhos existe na população total, então a hipergeométrica seria correta.
- Aproximação de Poisson: quando
é grande e é muito pequeno com moderado (por exemplo ), a binomial pode ser aproximada por uma Poisson. Aqui não é pequeno, então Poisson não é adequada. - Aproximação normal: quando
e são grandes (regra prática: ambos maiores que 5), a binomial pode ser aproximada por uma normal para facilitar cálculos. Aqui é limite, então a aproximação normal é marginal; prefira a binomial exata.
Resposta
Modelo:
. Justificativa: há
ensaios com resultados binários (vermelha / não vermelha), probabilidade constante
em cada ensaio e (razonavelmente) independência entre plantas; assim a binomial descreve o número de sucessos.