Para cada situação-problema abaixo, escolha um modelo probabilístico para tratar do problema da variável/fenômeno de interesse. Justifique.
Em um estudo sobre bem-estar animal em um sistema de criação de suínos, um etólogo observa o número de interações agressivas (mordidas) em um grupo de animais. As observações indicam que essas interações são eventos breves, independentes e que ocorrem a uma taxa média estável de 8,5 interações por hora durante o período mais ativo do dia. O objetivo é criar um modelo para o número de interações agressivas que podem ser registradas em um período de uma hora de observação.
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha um modelo probabilístico para o número de interações agressivas (mordidas) observadas em um período de uma hora. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As interações são eventos breves.
As interações ocorrem de forma independente.
A taxa média é estável e vale \,8,5 interações por hora durante o período de interesse.
O objetivo é modelar o número de interações registradas em um intervalo de uma hora de observação.
Passo 2
Escolha do modelo: vou escolher a distribuição de Poisson. Por que essa escolha? Vou ligar cada característica do enunciado a uma propriedade do modelo:
Eventos breves e contáveis num intervalo fixo combinam com um modelo de contagem (variável discreta).
Independência entre eventos e taxa média constante são exatamente as hipóteses clássicas da chamada “processo de Poisson homogêneo”.
Para o número de eventos em um intervalo fixo de tempo, o processo de Poisson homogêneo implica que a contagem tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à taxa média multiplicada pelo comprimento do intervalo. Como o intervalo é de uma hora e a taxa média já é dada por hora, o parâmetro será \lambda=8,5.
Resumo da ligação lógica: o enunciado descreve as condições que definem um processo de Poisson homogêneo; portanto o número de mordidas em uma hora segue uma distribuição de Poisson.
Passo 3
Definição e interpretação do modelo (mini-aula):
A variável de interesse X é o número de interações agressivas observadas em uma hora. Vou modelar \,X como uma variável aleatória com distribuição de Poisson.
A função massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é
\lambda é o parâmetro da Poisson, que representa a média (valor esperado) de ocorrências no intervalo considerado;
k! é o fatorial de k, ou seja, k!=1\cdot2\cdot3\cdots k (com 0!=1).
No nosso caso, \lambda=8,5 significa que, em média, esperamos \,8,5 mordidas por hora.
Propriedades importantes (úteis na prova):
Esperança: \mathbb{E}[X]=\lambda.
Variância: \mathrm{Var}(X)=\lambda.
Portanto, para Poisson, média e variância são iguais — isso é um teste rápido de adequação ao modelo: se nos dados a variância for muito maior que a média, talvez a Poisson não seja adequada (ver passo seguinte).
Passo 4
Como usar o modelo na prática (exemplos didáticos e passos de cálculo):
Para calcular a probabilidade de observar exatamente k mordidas em uma hora, aplicamos a pmf:
P(X=k)=\frac{8,5^{\,k} e^{-8,5}}{k!}.
Exemplo 1 — probabilidade de não observar nenhuma mordida (k=0):
Interpretação: é praticamente zero a chance de não ocorrer nenhuma mordida numa hora tão ativa.
Exemplo 2 — probabilidade de ocorrer pelo menos uma mordida:
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-8,5}\approx 0,999797.
Exemplo 3 — probabilidade de observar exatamente 8 mordidas:
P(X=8)=\frac{8,5^{8} e^{-8,5}}{8!}.
Neste caso você aplica a fórmula e calcula (em prova de cálculo manual geralmente deixam números pequenos ou pedem expressão; se precisarem de valor numérico, usa-se calculadora).
Dica prática para a prova: se \lambda for grande (por exemplo \lambda\gtrsim 10), às vezes usamos aproximação normal com média \lambda e variância \lambda (com correção de continuidade) para estimar probabilidades, mas aqui com \lambda=8,5 já estamos próximos ao limite onde a Poisson exata ainda é razoável.
Passo 5
Limitações do modelo e alternativas (saber defender a escolha):
O modelo Poisson pressupõe independência entre eventos, taxa constante no intervalo e ausência de limite superior fixo no número de eventos. Se alguma dessas hipóteses for claramente violada nos dados, devemos considerar alternativas:
Se houver agrupamento (eventos ocorrem em “rajadas”) ou sobredispersão (variância muito maior que a média), uma alternativa é a distribuição binomial negativa (que permite variância maior que a média).
Se houver um número máximo fixo de interações possível por unidade (pouco comum aqui), poderia ser mais adequado um modelo binomial.
Se a taxa variar ao longo da hora (não for homogênea), usar um processo de Poisson não homogêneo com taxa \lambda(t) ou dividir o período em sub-intervalos com taxas diferentes.
Como verificar na prática: calcule a média amostral e a variância amostral das contagens em várias horas; se estiverem próximas, Poisson parece razoável. Para estimar \lambda a partir de dados amostrais, use
onde x_{i} são as contagens observadas em n horas.
Passo 6
Resumo prático e incentivo
Modelo recomendado: Poisson com parâmetro \lambda=8,5.
Usando esse modelo você pode responder a qualquer pergunta do tipo “qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos/até/exatamente k mordidas em uma hora” aplicando a fórmula da pmf ou complementos como 1-P(X\le k).
Você está no caminho certo: anote as hipóteses, escreva a pmf e calcule a probabilidade pedida passo a passo — se der medo de exponenciais e fatoriais, lembra que muitas questões pedem a expressão em vez do número final, ou permitem calculadora.
Resposta
Distribuição de Poisson com \lambda=8,5, isto é, X\sim\mathrm{Poisson}(8,5).