Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar um certo tipo de câncer. Ele usa o teste em pacientes com câncer e pacientes sem câncer e obtém uma taxa de falsos positivos de 5 \% (isto é, resultados positivos para pacientes sem câncer). Qual é a probabilidade de que em um grupo de 15 pessoas
(a) nenhuma tenha resultado positivo sem ter câncer?
(b) no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?
Passo 1
O enunciado diz que um teste tem taxa de falsos positivos de 5\%, isto é, para qualquer pessoa sem câncer a chance de o teste dar positivo é 0,05. Vamos analisar um grupo de 15 pessoas e responder duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que nenhuma pessoa do grupo tenha resultado positivo sem ter câncer?
(b) Qual é a probabilidade de que no máximo 3 pessoas do grupo tenham resultado positivo sem ter câncer?
Informações relevantes dadas:
n = 15,\qquad p = 0,05
onde n é o número de pessoas testadas e p é a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = falso positivo) em cada pessoa. As questões pedem probabilidades sobre o número de falsos positivos no grupo.
Passo 2
Modelagem do problema e fórmula que vamos usar.
Cada pessoa testada pode ter (ou não) um falso positivo. Assumimos que os resultados são independentes e que a probabilidade de falso positivo é a mesma para cada pessoa. Nessas condições usamos a distribuição binomial.
Definição da distribuição binomial:
Se X é o número de sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio, então
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios).
Explicando cada símbolo:
X: variável aleatória = número de falsos positivos no grupo.
n: número total de pessoas (n=15).
k: número específico de falsos positivos que queremos a probabilidade.
p: probabilidade de falsos positivos em cada pessoa (p=0,05).
\binom{n}{k}: combinações, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.
No item (a) queremos P(X=0). No item (b) queremos P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k).
Passo 3
Cálculo dos coeficientes binomiais necessários (n=15):
Interpretação rápida (ânimo!): com uma taxa de falsos positivos tão baixa (5\%), em 15 pessoas é bem provável que haja 0, 1 ou 2 falsos positivos; a probabilidade de ter até 3 falsos positivos é muito alta (cerca de 99{,}45\%).