Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar um certo tipo de câncer. Ele usa o teste em pacientes com câncer e pacientes sem câncer e obtém uma taxa de falsos positivos de 5 \% (isto é, resultados positivos para pacientes sem câncer). Qual é a probabilidade de que em um grupo de 15 pessoas
(a) nenhuma tenha resultado positivo sem ter câncer?
(b) no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?

Passo 1

O enunciado diz que um teste tem taxa de falsos positivos de 5\%, isto é, para qualquer pessoa sem câncer a chance de o teste dar positivo é 0,05. Vamos analisar um grupo de 15 pessoas e responder duas perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que nenhuma pessoa do grupo tenha resultado positivo sem ter câncer?
(b) Qual é a probabilidade de que no máximo 3 pessoas do grupo tenham resultado positivo sem ter câncer?
Informações relevantes dadas:
n = 15,\qquad p = 0,05
onde n é o número de pessoas testadas e p é a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = falso positivo) em cada pessoa. As questões pedem probabilidades sobre o número de falsos positivos no grupo.

Passo 2

Modelagem do problema e fórmula que vamos usar.
Cada pessoa testada pode ter (ou não) um falso positivo. Assumimos que os resultados são independentes e que a probabilidade de falso positivo é a mesma para cada pessoa. Nessas condições usamos a distribuição binomial.
Definição da distribuição binomial:
Se X é o número de sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio, então
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios).
Explicando cada símbolo:
  • X: variável aleatória = número de falsos positivos no grupo.
  • n: número total de pessoas ( n=15).
  • k: número específico de falsos positivos que queremos a probabilidade.
  • p: probabilidade de falsos positivos em cada pessoa ( p=0,05).
  • \binom{n}{k}: combinações, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1.
No item (a) queremos P(X=0). No item (b) queremos P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k).

Passo 3

Cálculo dos coeficientes binomiais necessários ( n=15):
\binom{15}{0}=1,
\binom{15}{1}=15,
\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}=105,
\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=455.
Vou usar esses valores para montar as probabilidades termo a termo.

Passo 4

Cálculo de (a): P(X=0).
Usando a fórmula binomial com k=0:
P(X=0)=\binom{15}{0}0,05^{0}0,95^{15}=0,95^{15}.
Agora uma avaliação aproximada de 0,95^{15}. Podemos calcular potências sucessivas de 0,95:
0,95^{2}=0,9025,\quad 0,95^{3}=0,857375,\quad \dots,\quad 0,95^{15}\approx 0,4632912301.
Portanto
P(X=0)=0,95^{15}\approx 0,46329.

Passo 5

Cálculo de (b): P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k).
Escrevendo cada termo com os coeficientes calculados:
P(X\le 3)= \underbrace{\binom{15}{0}0,05^{0}0,95^{15}}_{k=0} +\underbrace{\binom{15}{1}0,05^{1}0,95^{14}}_{k=1} +\underbrace{\binom{15}{2}0,05^{2}0,95^{13}}_{k=2} +\underbrace{\binom{15}{3}0,05^{3}0,95^{12}}_{k=3}.
Substituindo os valores numéricos:
P(X\le 3)=0,95^{15} +15\cdot0,05\cdot0,95^{14} +105\cdot0,05^{2}\cdot0,95^{13} +455\cdot0,05^{3}\cdot0,95^{12}.
Agora avalio cada termo aproximadamente (usei as potências de 0,95 calculadas antes):
  • k=0:\quad 0,95^{15}\approx 0,4632912301.
  • k=1:\quad 15\cdot0,05\cdot0,95^{14}=0,75\cdot0,95^{14}.
    Como 0,95^{14}\approx 0,4876749790,
    obtemos P(X=1)\approx 0,75\cdot0,4876749790\approx 0,3657562343.
  • k=2:\quad 105\cdot0,05^{2}\cdot0,95^{13}=0,2625\cdot0,95^{13}.
    Como 0,95^{13}\approx 0,5133420832,
    obtemos P(X=2)\approx 0,2625\cdot0,5133420832\approx 0,1347522968.
  • k=3:\quad 455\cdot0,05^{3}\cdot0,95^{12}=0,056875\cdot0,95^{12}.
    Como 0,95^{12}\approx 0,5403600876,
    obtemos P(X=3)\approx 0,056875\cdot0,5403600876\approx 0,0307329800.
Somando os quatro termos:
P(X\le 3)\approx 0,4632912301+0,3657562343+0,1347522968+0,0307329800\approx 0,9945327412.
Arredondando de forma prática:
P(X\le 3)\approx 0,99453.

Passo 6

Interpretação rápida (ânimo!): com uma taxa de falsos positivos tão baixa ( 5\%), em 15 pessoas é bem provável que haja 0, 1 ou 2 falsos positivos; a probabilidade de ter até 3 falsos positivos é muito alta (cerca de 99{,}45\%).

Resposta

(a) P(X=0)=0,95^{15}\approx 0,46329
(b) P(X\le 3)=\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\binom{15}{k}0,05^{k}0,95^{15-k}\approx 0,99453

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