Para cada tipo de onda de entrada (onda quadrada, senoidal, triangular) testada no experimento, derive a expressão teórica da tensão de saída do circuito integrador. Utilize a fórmula fundamental:
V_{\text {out }}=-\frac{1}{R_{1} C_{f}} \int V_{\text {in }} d t

Passo 1

O enunciado pede para cada tipo de onda de entrada — quadrada, senoidal e triangular — achar a expressão teórica da tensão de saída de um integrador ideal cuja lei fundamental é
V_{\text{out}}(t) \;=\; -\frac{1}{R_{1}C_{f}}\int V_{\text{in}}(t)\,dt.
O conteúdo é circuito integrador em regime periódico, e vamos usar cálculo de integrais elementares e condições de contínua periódica (ou desprezar constantes de integração se focarmos apenas na forma de onda).

Passo 2

Considere primeiro uma entrada senoidal de amplitude V_{m} e frequência angular \omega:
V_{\text{in}}(t)=V_{m}\,\sin(\omega t).
Aplicando a lei do integrador:
V_{\text{out}}(t)=-\frac{1}{R_{1}C_{f}} \int V_{m}\sin(\omega t)\,dt =-\frac{V_{m}}{R_{1}C_{f}} \bigl(-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\bigr)+K =\frac{V_{m}}{R_{1}C_{f}\,\omega}\cos(\omega t)+K.
Se quisermos a forma puramente AC (sem componente CC), escolhemos K=0 e então
V_{\text{out}}(t) =\frac{V_{m}}{R_{1}C_{f}\,\omega}\,\cos(\omega t).

Passo 3

Agora uma onda quadrada de amplitude V_{p}\) e período \(T\), que alterna entre \(+V_{p}\) e \(-V_{p}\). Em cada semi-ciclo a entrada é constante, então a saída é rampa linear. Tomando \(0\le t<T/2\) para \(V_{\text{in}}=+V_{p}\) e \(T/2\le t<T\) para \(V_{\text{in}}=-V_{p}\), temos peça-a-peça: \[V_{\text{out}}(t) =\begin{cases} -\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,t + C_{1},&0\le t<\tfrac{T}{2},\\[1em] -\dfrac{-V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,(t-\tfrac{T}{2})+C_{2} =\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,(t-\tfrac{T}{2})+C_{2},&\tfrac{T}{2}\le t<T. \end{cases}
Para obter uma saída sem salto periódico impomos continuidade em t=0,T/2,T\] e, se quisermos forma de onda centrada em zero, escolhemos \(C_{1}=0 e C_{2}=-\dfrac{V_{p}\,T}{2R_{1}C_{f}}.]

Passo 4

Por fim, uma onda triangular de amplitude V_{p} e período T. No primeiro semi-ciclo 0\le t< T/2 a rampa sobe com coeficiente \tfrac{2V_{p}}{T}, isto é
V_{\text{in}}(t)=\frac{2V_{p}}{T}\,t - V_{p} \quad\Longrightarrow\quad \int V_{\text{in}}\,dt =\int\Bigl(\frac{2V_{p}}{T}t - V_{p}\Bigr)dt =\frac{2V_{p}}{T}\frac{t^{2}}{2}-V_{p}\,t =\frac{V_{p}}{T}t^{2}-V_{p}\,t.
Logo, na parte crescente:
V_{\text{out}}(t) =-\frac{1}{R_{1}C_{f}} \Bigl(\frac{V_{p}}{T}t^{2}-V_{p}\,t\Bigr)+K_{1} =-\frac{V_{p}}{R_{1}C_{f}\,T}\,t^{2} +\frac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,t+K_{1}.
Na parte decrescente T/2\le t<T faz-se integral de \;V_{\text{in}}(t)=-\frac{2V_{p}}{T}t+3V_{p};, resultando em parabólica semelhante com outra constante K_{2}. Novamente, impomos continuidade periódica para fixar K_{1},K_{2}.

Resposta

Expressões finais (desprezando componente CC, ou ajustando constantes para forma periódica centrada em zero):
(a) Senoidal de amplitude V_{m}\) e frequência \(\omega\): \[V_{\text{out}}(t) =\frac{V_{m}}{R_{1}C_{f}\,\omega}\,\cos(\omega t).
(b) Quadrada de amplitude V_{p} e período T:
V_{\text{out}}(t) =\begin{cases} -\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,t, &0\le t<\tfrac{T}{2},\\[6pt] \;\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,(t-\tfrac{T}{2})-\dfrac{V_{p}\,T}{2R_{1}C_{f}},&\tfrac{T}{2}\le t<T. \end{cases}
(c) Triangular de amplitude V_{p}\] e período \(T:
V_{\text{out}}(t) =-\frac{V_{p}}{R_{1}C_{f}\,T}\,t^{2} +\frac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,t \quad(0\le t<\tfrac{T}{2}),
e formula análoga em T/2\le t<T com sinal invertido na parte linear de V_{\text{in}}, ajustando a constante para manter continuidade periódica.]

Exercícios relacionados