Para cada tipo de onda de entrada (onda quadrada, senoidal, triangular) testada no experimento, derive a expressão teórica da tensão de saída do circuito integrador. Utilize a fórmula fundamental:
V_{\text {out }}=-\frac{1}{R_{1} C_{f}} \int V_{\text {in }} d t
Passo 1
O enunciado pede para cada tipo de onda de entrada — quadrada, senoidal e triangular — achar a expressão teórica da tensão de saída de um integrador ideal cuja lei fundamental é
O conteúdo é circuito integrador em regime periódico, e vamos usar cálculo de integrais elementares e condições de contínua periódica (ou desprezar constantes de integração se focarmos apenas na forma de onda).
Passo 2
Considere primeiro uma entrada senoidal de amplitude V_{m} e frequência angular \omega:
Agora uma onda quadrada de amplitude V_{p}\) e período \(T\), que alterna entre \(+V_{p}\) e \(-V_{p}\). Em cada semi-ciclo a entrada é constante, então a saída é rampa linear. Tomando \(0\le t<T/2\) para \(V_{\text{in}}=+V_{p}\) e \(T/2\le t<T\) para \(V_{\text{in}}=-V_{p}\), temos peça-a-peça:
\[V_{\text{out}}(t) =\begin{cases} -\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,t + C_{1},&0\le t<\tfrac{T}{2},\\[1em] -\dfrac{-V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,(t-\tfrac{T}{2})+C_{2} =\dfrac{V_{p}}{R_{1}C_{f}}\,(t-\tfrac{T}{2})+C_{2},&\tfrac{T}{2}\le t<T. \end{cases}
Para obter uma saída sem salto periódico impomos continuidade em t=0,T/2,T\] e, se quisermos forma de onda centrada em zero, escolhemos \(C_{1}=0 e C_{2}=-\dfrac{V_{p}\,T}{2R_{1}C_{f}}.]
Passo 4
Por fim, uma onda triangular de amplitude V_{p} e período T. No primeiro semi-ciclo 0\le t< T/2 a rampa sobe com coeficiente \tfrac{2V_{p}}{T}, isto é
Na parte decrescente T/2\le t<T faz-se integral de \;V_{\text{in}}(t)=-\frac{2V_{p}}{T}t+3V_{p};, resultando em parabólica semelhante com outra constante K_{2}. Novamente, impomos continuidade periódica para fixar K_{1},K_{2}.
Resposta
Expressões finais (desprezando componente CC, ou ajustando constantes para forma periódica centrada em zero):
(a) Senoidal de amplitude V_{m}\) e frequência \(\omega\):
\[V_{\text{out}}(t) =\frac{V_{m}}{R_{1}C_{f}\,\omega}\,\cos(\omega t).