1^{\circ} ) Usando a lei de Gauss, demonstre a fórmula do campo elétrico gerado por uma linha de carga circular de Raio \mathbf{R} ao longo do eixo que passa pelo centro da linha circular com uma densidade linear de carga uniforme \lambda positiva e por um disco carga circular de Raio \mathbf{R} ao longo do eixo que passa pelo centro do disco circular com uma densidade superficial de carga uniforme \boldsymbol{\sigma} positiva. (\mathbf{2 , 5})

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico ao longo do eixo de
  1. uma linha de carga circular (anel de raio R) com densidade linear \lambda>0,
  2. um disco de raio R com densidade superficial \sigma>0.
    Como não há simetria suficiente para aplicar diretamente a lei de Gauss nesses casos finitos, vamos usar a superposição de elementos de carga e a lei de Coulomb:
  • para o anel, dividimos em elementos \mathrm{d}q=\lambda\,R\,\mathrm{d}\varphi e integramos os componentes de \mathrm{d}\mathbf{E} ao longo do eixo;
  • para o disco, vemos o disco como uma coleção de anéis de raio r e espessura \mathrm{d}r, cada um com carga \mathrm{d}q=\sigma\,(2\pi r\,\mathrm{d}r), e integramos o campo desses anéis do centro r=0 até r=R.

Passo 2

Campo elétrico de um anel de carga de raio R no ponto P do eixo a uma distância z do centro:
  • Elemento de carga:
\mathrm{d}q=\lambda\,R\,\mathrm{d}\varphi.
  • A distância de \mathrm{d}q até P é \sqrt{R^2+z^2}.
  • Pelo teorema de Pitágoras, o elemento \mathrm{d}\mathbf{E} forma ângulo tal que só a componente ao longo de z sobrevive (as componentes radiais cancelam por simetria).
\mathrm{d}E_z =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{(R^2+z^2)}\cos\theta \quad\text{com}\quad \cos\theta=\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Substituindo:
\mathrm{d}E_z =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\lambda\,R\,\mathrm{d}\varphi}{(R^2+z^2)}\, \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\lambda\,R\,z\,\mathrm{d}\varphi}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
Integramos \varphi de 0 a 2\pi:
E_z =\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}E_z =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\lambda\,R\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}} \int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\lambda\,2\pi R\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
Definindo a carga total do anel Q=\lambda\,2\pi R, obtemos
\boxed{ \mathbf{E}_{\rm anel}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}. }

Passo 3

Campo elétrico de um disco de raio R no ponto P do eixo a uma distância z:
  • Representamos o disco como anéis de raio r e espessura \mathrm{d}r, cada um com carga
\mathrm{d}q =\sigma\,(2\pi r\,\mathrm{d}r).
  • Pelo resultado do anel, o campo de cada anel no eixo é
\mathrm{d}E =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\mathrm{d}q\;z}{(r^2+z^2)^{3/2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\sigma\,2\pi r\,\mathrm{d}r\;z}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
  • Soma (integração) de r=0 até r=R:
E(z) =\int_{0}^{R}\mathrm{d}E =\frac{\sigma\,z}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{R}\frac{r\,\mathrm{d}r}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
Fazendo u=r^2+z^2\Rightarrow\mathrm{d}u=2r\,\mathrm{d}r,
\int_{0}^{R}\frac{r\,\mathrm{d}r}{(r^2+z^2)^{3/2}} =\int_{u=z^2}^{u=R^2+z^2}\frac{\mathrm{d}u}{2\,u^{3/2}} =\Bigl[-\frac{1}{u^{1/2}}\Bigr]_{z^2}^{R^2+z^2} =\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Logo
E(z) =\frac{\sigma\,z}{2\varepsilon_0} \Bigl(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).

Resposta

1 ) \(\displaystyle \mathbf{E}_{\rm anel}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{(\,R^2+z^2\,)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}} com Q=2\pi R\,\lambda.
2 ) \(\displaystyle \mathbf{E}_{\rm disco}(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr)\;\hat{\mathbf{z}}.)

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