) Usando a lei de Gauss, demonstre a fórmula do campo elétrico gerado por uma linha de carga circular de Raio
ao longo do eixo que passa pelo centro da linha circular com uma densidade linear de carga uniforme
positiva e por um disco carga circular de Raio
ao longo do eixo que passa pelo centro do disco circular com uma densidade superficial de carga uniforme
positiva.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico ao longo do eixo de
- uma linha de carga circular (anel de raio
) com densidade linear , - um disco de raio
com densidade superficial .
Como não há simetria suficiente para aplicar diretamente a lei de Gauss nesses casos finitos, vamos usar a superposição de elementos de carga e a lei de Coulomb:
- para o anel, dividimos em elementos
e integramos os componentes de ao longo do eixo; - para o disco, vemos o disco como uma coleção de anéis de raio
e espessura , cada um com carga , e integramos o campo desses anéis do centro até .
Passo 2
Campo elétrico de um anel de carga de raio
no ponto
do eixo a uma distância
do centro:
- Elemento de carga:
- A distância de
até é . - Pelo teorema de Pitágoras, o elemento
forma ângulo tal que só a componente ao longo de sobrevive (as componentes radiais cancelam por simetria).
Substituindo:
Integramos
de
a
:
Definindo a carga total do anel
, obtemos
Passo 3
Campo elétrico de um disco de raio
no ponto
do eixo a uma distância
:
- Representamos o disco como anéis de raio
e espessura , cada um com carga
- Pelo resultado do anel, o campo de cada anel no eixo é
- Soma (integração) de
até :
Fazendo
,
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Resposta
1
com
.
2
)