Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x+y, z)

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z)=(x+y,z)
é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem.
Informações fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra de transformação: (x,y,z)\mapsto(x+y,z).

Passo 2

Primeiro vou mostrar de forma direta que T é uma transformação linear e escrever sua matriz na base canônica — isso facilita usar núcleo e imagem. Aplicando T aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
T(1,0,0)=(1,0),\qquad T(0,1,0)=(1,0),\qquad T(0,0,1)=(0,1).
Logo a matriz de T na base canônica (colunas sendo as imagens dos vetores da base) é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Como T é dada por multiplicação por A, T é linear.]

Passo 3

Agora uma rápida aula sobre termos essenciais (pra ficar tranquilo na prova):
  • Núcleo (kernel): \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. É o conjunto dos vetores que vão para o vetor zero.
  • Imagem (image): \operatorname{Im}(T)=\{T(v):v\in\mathbb{R}^3\}\subseteq\mathbb{R}^2. É o conjunto de vetores atingidos por T.
  • Dimensões: \dim(\ker(T)) chama-se nulidade (nullity) e \dim(\operatorname{Im}(T)) chama-se posto (rank).
  • Teorema (posto-nulidade): para uma transformação linear T:V\to W com V de dimensão finita vale
\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
  • Relações com injetividade/sobrejetividade:
    • T é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0\} (nulidade zero).
    • T é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{Im}(T)=W. Em termos de dimensão, se \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(W).

Passo 4

Calcular \ker(T). Resolvemos T(x,y,z)=(0,0), isto é o sistema
x+y=0,\qquad z=0.
Da primeira equação vem y=-x; da segunda z=0. Portanto
\ker(T)=\{(x,-x,0):x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}.
Logo \dim(\ker(T))=1. (Explicação: encontramos um vetor não nulo que gera todo o núcleo, então a nulidade é 1.)

Passo 5

Aplicar o teorema do núcleo e imagem. Como \dim(\mathbb{R}^3)=3 e \dim(\ker(T))=1, temos
\dim(\operatorname{Im}(T))=3-1=2.
Assim o posto de T é 2. O contradomínio \mathbb{R}^2 tem dimensão 2, portanto \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^2), o que implica
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Logo T é sobrejetora.

Passo 6

Verificar injetividade: como \ker(T) não é \{0\} (tem dimensão 1), T NÃO é injetora. Para ilustrar com um exemplo concreto:
T(1,0,0)=(1,0),\qquad T(0,1,0)=(1,0),
portanto (1,0,0)\neq(0,1,0) mas têm a mesma imagem, mostrando não injetividade.

Passo 7

Também mostrar construtivamente que é sobrejetora: dado um vetor arbitrário (a,b)\in\mathbb{R}^2, escolha por exemplo (x,y,z)=(a,0,b)\in\mathbb{R}^3. Então
T(a,0,b)=(a+0,b)=(a,b),
logo qualquer (a,b) tem pré-imagem, confirmando a sobrejetividade.

Resposta

Sobrejetora, não injetora.

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