Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a transformação linear
dada por
é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra de transformação:
.
Passo 2
Primeiro vou mostrar de forma direta que
é uma transformação linear e escrever sua matriz na base canônica — isso facilita usar núcleo e imagem. Aplicando
aos vetores da base canônica de
:
Logo a matriz de
na base canônica (colunas sendo as imagens dos vetores da base) é
Como
é dada por multiplicação por
,
é linear.]
Passo 3
Agora uma rápida aula sobre termos essenciais (pra ficar tranquilo na prova):
- Núcleo (kernel):
. É o conjunto dos vetores que vão para o vetor zero. - Imagem (image):
. É o conjunto de vetores atingidos por . - Dimensões:
chama-se nulidade (nullity) e chama-se posto (rank). - Teorema (posto-nulidade): para uma transformação linear
com de dimensão finita vale
- Relações com injetividade/sobrejetividade:
-
é injetora se, e somente se, (nulidade zero). -
é sobrejetora se, e somente se, . Em termos de dimensão, se .
-
Passo 4
Calcular
. Resolvemos
, isto é o sistema
Da primeira equação vem
; da segunda
. Portanto
Logo
. (Explicação: encontramos um vetor não nulo que gera todo o núcleo, então a nulidade é 1.)
Passo 5
Aplicar o teorema do núcleo e imagem. Como
e
, temos
Assim o posto de
é
. O contradomínio
tem dimensão
, portanto
, o que implica
Logo
é sobrejetora.
Passo 6
Verificar injetividade: como
não é
(tem dimensão
),
NÃO é injetora. Para ilustrar com um exemplo concreto:
portanto
mas têm a mesma imagem, mostrando não injetividade.
Passo 7
Também mostrar construtivamente que é sobrejetora: dado um vetor arbitrário
, escolha por exemplo
. Então
logo qualquer
tem pré-imagem, confirmando a sobrejetividade.
Resposta
Sobrejetora, não injetora.