Sejam \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right] e \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 5 \\\\ -3\end{array}\right] calcule e esboce.
2 \mathbf{u}+3 \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado dá duas colunas-vetores e pede para calcular e esboçar 2\mathbf{u}+3\mathbf{v}. Os dados são:
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
A pergunta é: calcular explicitamente o vetor \,2\mathbf{u}+3\mathbf{v}\, e indicar como esboçá-lo geometricamente.]

Passo 2

Lembrando as regras básicas de operações com vetores em coordenadas:
  • Multiplicação por escalar: para qualquer escalar c e vetor \mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1\a_2\a_3\end{bmatrix} vale
c\mathbf{a}=\begin{bmatrix}c a_1\\[4pt]c a_2\\[4pt]c a_3\end{bmatrix}.
Isto significa: multiplica-se cada componente por c.
  • Soma de vetores: para \mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1\a_2\a_3\end{bmatrix} e \mathbf{b}=\begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3\end{bmatrix} vale
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\[4pt]a_2+b_2\\[4pt]a_3+b_3\end{bmatrix}.
Ou seja, soma-se componente a componente. Usamos essas duas regras para calcular 2\mathbf{u}, 3\mathbf{v} e depois somá-los.]

Passo 3

Calcular 2\mathbf{u} aplicando a regra do escalar componente a componente:
2\mathbf{u}=2\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot 2\\[4pt]2\cdot(-2)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2\\[4pt]4\\[4pt]-4\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular 3\mathbf{v} do mesmo modo:
3\mathbf{v}=3\begin{bmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]-3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3\cdot(-1)\\[4pt]3\cdot 5\\[4pt]3\cdot(-3)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-3\\[4pt]15\\[4pt]-9\end{bmatrix}.]

Passo 5

Somar os vetores obtidos componente a componente:
2\mathbf{u}+3\mathbf{v}= \begin{bmatrix}-2\\[4pt]4\\[4pt]-4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-3\\[4pt]15\\[4pt]-9\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2+(-3)\\[4pt]4+15\\[4pt]-4+(-9)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-5\\[4pt]19\\[4pt]-13\end{bmatrix}.]

Passo 6

Como esboçar geometricamente (dicas práticas, passo a passo):
  1. Em desenho à mão, trace três eixos concorrentes no ponto O (origem): eixo x para a direita, eixo y para cima/para dentro da página (ou para a esquerda dependendo da convenção) e eixo z apontando para cima na folha para dar sensação 3D. Marque a origem O.
  2. Escolha uma escala adequada (por exemplo, 1 cm = 2 unidades ou outra que caiba no papel). Como as componentes são relativamente grandes, ajuste a escala para que o ponto fique dentro da folha.
  3. Marque o ponto final do vetor 2\mathbf{u}+3\mathbf{v} com coordenadas \,(-5,\,19,\,-13)\,. Para facilitar, desenhe as projeções desse ponto nos planos coordenados: (-5,19,0) no plano xy, (-5,0,-13) no plano xz e (0,19,-13) no plano yz. Use essas projeções como guias para localizar o ponto no espaço.
  4. Desenhe uma flecha do ponto O até esse ponto final: essa flecha representa o vetor \,2\mathbf{u}+3\mathbf{v}\,.
  5. Se quiser mostrar a construção via soma tip-to-tail: desenhe primeiro 2\mathbf{u} a partir de O até (-2,4,-4); a partir da ponta de 2\mathbf{u} desenhe 3\mathbf{v} (vetor com as mesmas componentes que antes) até a ponta final (-5,19,-13). A flecha de O até essa ponta é o vetor soma. Também é possível completar o paralelogramo mostrando que soma por paralelogramo dá o mesmo resultado.
  6. Não se preocupe em ter perspectiva perfeita: o importante é marcar corretamente as projeções e manter a proporcionalidade dada pela escala.
Força aí — o cálculo é direto e o esboço fica bem claro seguindo esses passos!

Resposta

\begin{bmatrix}-5\\[4pt]19\\[4pt]-13\end{bmatrix}]

Exercícios relacionados