Verifique se os seguintes vetores são unitários ou não.
a) \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3} \\\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{c}3 / 5 \\\\ -4 / 5 \\\\ 0\end{array}\right]
c) -\frac{1}{\sqrt{12}} \mathbf{i}+\frac{\sqrt{12}}{6} \mathbf{j}+\frac{3}{\sqrt{12}} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se cada vetor dado é unitário (isto é, se tem norma igual a 1). Os vetores fornecidos são:
O que devemos responder: para cada vetor, dizer se é unitário (norma igual a 1) ou não.]
Passo 2
Definição e procedimento prático (a “receita” para o exame).
Um vetor \mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix} em \mathbb{R}^3 é unitário se e somente se a sua norma \|\mathbf{v}\| vale 1.
A norma (comprimento) de \mathbf{v} é dada por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Então, para verificar se um vetor é unitário, basta calcular v_1^2+v_2^2+v_3^2. Se essa soma for 1, então \|\mathbf{v}\|=1 e o vetor é unitário; se for diferente de 1, não é unitário.
Passo 3
Aplicando a receita ao item (a).
O vetor é \displaystyle \mathbf{v}_a=\begin{bmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}.
Calculemos v_{a,1}^2+v_{a,2}^2+v_{a,3}^2:
Portanto \|\mathbf{v}_b\|=\sqrt{1}=1. Conclusão: o vetor (b) é unitário.]
Passo 5
Aplicando a receita ao item (c).
O vetor é \displaystyle \mathbf{v}_c=-\dfrac{1}{\sqrt{12}}\,\mathbf{i}+\dfrac{\sqrt{12}}{6}\,\mathbf{j}+\dfrac{3}{\sqrt{12}}\,\mathbf{k}.
Primeiro é conveniente simplificar os coeficientes usando \sqrt{12}=2\sqrt{3}, assim podemos reescrever os componentes:
Logo \|\mathbf{v}_c\|=\sqrt{\dfrac{7}{6}}, que não é igual a 1 (pois \dfrac{7}{6}>1). Conclusão: o vetor (c) NÃO é unitário; sua norma é \sqrt{\dfrac{7}{6}}\approx 1{,}08.
Passo 6
(Um truquezinho útil para a prova) Se precisar transformar um vetor não unitário em unitário — ou seja, normalizá-lo — divide-se o vetor pela sua norma. Para \mathbf{v}_c, o vetor unitário na mesma direção seria