Verifique se os seguintes vetores são unitários ou não.
a) \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3} \\\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{c}3 / 5 \\\\ -4 / 5 \\\\ 0\end{array}\right]
c) -\frac{1}{\sqrt{12}} \mathbf{i}+\frac{\sqrt{12}}{6} \mathbf{j}+\frac{3}{\sqrt{12}} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se cada vetor dado é unitário (isto é, se tem norma igual a 1). Os vetores fornecidos são:
  • (a) \displaystyle \begin{bmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}.
  • (b) \displaystyle \begin{bmatrix}\dfrac{3}{5} \\[4pt] -\dfrac{4}{5} \\[4pt] 0\end{bmatrix}.
  • (c) \displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{12}}\,\mathbf{i}+\dfrac{\sqrt{12}}{6}\,\mathbf{j}+\dfrac{3}{\sqrt{12}}\,\mathbf{k}.
O que devemos responder: para cada vetor, dizer se é unitário (norma igual a 1) ou não.]

Passo 2

Definição e procedimento prático (a “receita” para o exame).
  • Um vetor \mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix} em \mathbb{R}^3 é unitário se e somente se a sua norma \|\mathbf{v}\| vale 1.
  • A norma (comprimento) de \mathbf{v} é dada por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
  • Então, para verificar se um vetor é unitário, basta calcular v_1^2+v_2^2+v_3^2. Se essa soma for 1, então \|\mathbf{v}\|=1 e o vetor é unitário; se for diferente de 1, não é unitário.

Passo 3

Aplicando a receita ao item (a).
O vetor é \displaystyle \mathbf{v}_a=\begin{bmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[4pt]\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}.
Calculemos v_{a,1}^2+v_{a,2}^2+v_{a,3}^2:
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 =3\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2.
Agora simplificar uma das parcelas:
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
Então
3\cdot\dfrac{1}{3}=1.
Portanto \|\mathbf{v}_a\|=\sqrt{1}=1. Conclusão: o vetor (a) é unitário.]

Passo 4

Aplicando a receita ao item (b).
O vetor é \displaystyle \mathbf{v}_b=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{5}\\[4pt]-\dfrac{4}{5}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Calculemos a soma dos quadrados:
\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2+0^2 =\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}+0.
Somando:
\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1.
Portanto \|\mathbf{v}_b\|=\sqrt{1}=1. Conclusão: o vetor (b) é unitário.]

Passo 5

Aplicando a receita ao item (c).
O vetor é \displaystyle \mathbf{v}_c=-\dfrac{1}{\sqrt{12}}\,\mathbf{i}+\dfrac{\sqrt{12}}{6}\,\mathbf{j}+\dfrac{3}{\sqrt{12}}\,\mathbf{k}.
Primeiro é conveniente simplificar os coeficientes usando \sqrt{12}=2\sqrt{3}, assim podemos reescrever os componentes:
-\dfrac{1}{\sqrt{12}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}},\qquad \dfrac{\sqrt{12}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad \dfrac{3}{\sqrt{12}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}.
Agora calculemos a soma dos quadrados das componentes:
\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\right)^2.
Calcule cada termo:
\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2=\dfrac{1}{4\cdot 3}=\dfrac{1}{12},
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},
\left(\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\right)^2=\dfrac{9}{4\cdot 3}=\dfrac{9}{12}.
Somando:
\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}.
Logo \|\mathbf{v}_c\|=\sqrt{\dfrac{7}{6}}, que não é igual a 1 (pois \dfrac{7}{6}>1). Conclusão: o vetor (c) NÃO é unitário; sua norma é \sqrt{\dfrac{7}{6}}\approx 1{,}08.

Passo 6

(Um truquezinho útil para a prova) Se precisar transformar um vetor não unitário em unitário — ou seja, normalizá-lo — divide-se o vetor pela sua norma. Para \mathbf{v}_c, o vetor unitário na mesma direção seria
\widehat{\mathbf{v}}_c=\dfrac{\mathbf{v}_c}{\|\mathbf{v}_c\|=\sqrt{7/6}},
isto é, basta dividir cada componente de \mathbf{v}_c por \sqrt{7/6}.

Resposta

a) unitário
b) unitário
c) não é unitário ( \|\mathbf{v}_c\|=\sqrt{\tfrac{7}{6}})

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