Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que é pedido: determinar se
é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma.
Informações relevantes dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra: o terceiro componente da imagem é sempre
.
Passo 2
Vou usar o teorema núcleo-imagem (rank–nullity) e os critérios padrão:
- Definição do núcleo (kernel):
. - Definição da imagem:
. - Teorema núcleo-imagem (rank–nullity) para
:
- Critérios:
-
é injetora se, e somente se, (ou seja ). -
é sobrejetora se, e somente se, (ou seja ).
-
Passo 3
Calcular
.
Procuramos todos
tais que
. Pela regra de
,
implica
Não há condição sobre
(o terceiro componente da imagem é sempre
independentemente de
). Logo
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Por definição,
Esse conjunto é o plano
em
. Uma base evidente é
, então
e
Passo 5
Aplicando o teorema núcleo-imagem:
o que confirma a conta.
Agora os critérios:
- Como
, tem-se , portanto NÃO é injetora. - Como
, tem-se , portanto NÃO é sobrejetora.
Passo 6
Para ficar mais concreto (duas verificações rápidas que ajudam na prova):
- Contraexemplo à injetividade:
e com , logo não é injetora. - Contraexemplo à sobrejetividade: o vetor
não pertence a , pois toda imagem tem terceira componente . Logo não existe com , então não é sobrejetora.
Resposta
Não é injetora nem sobrejetora.