Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x, y, 0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x,y,0).
O que é pedido: determinar se T é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Regra: o terceiro componente da imagem é sempre 0.

Passo 2

Vou usar o teorema núcleo-imagem (rank–nullity) e os critérios padrão:
  • Definição do núcleo (kernel): \ker T=\{v\in\mathbb{R}^3:\;T(v)=0\}.
  • Definição da imagem: \operatorname{im}T=\{T(v):\;v\in\mathbb{R}^3\}.
  • Teorema núcleo-imagem (rank–nullity) para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T)=3.
  • Critérios:
    • T é injetora se, e somente se, \ker T=\{0\} (ou seja \dim(\ker T)=0).
    • T é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{im}T=\mathbb{R}^3 (ou seja \dim(\operatorname{im}T)=3).

Passo 3

Calcular \ker T.
Procuramos todos (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0,0). Pela regra de T,
T(x,y,z)=(x,y,0)=(0,0,0)
implica
x=0,\qquad y=0.
Não há condição sobre z (o terceiro componente da imagem é sempre 0 independentemente de z). Logo
\ker T=\{(0,0,z):\;z\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Portanto
\dim(\ker T)=1.

Passo 4

Calcular \operatorname{im}T.
Por definição,
\operatorname{im}T=\{(x,y,0):\;x,y\in\mathbb{R}\}.
Esse conjunto é o plano z=0 em \mathbb{R}^3. Uma base evidente é \{(1,0,0),(0,1,0)\}, então
\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}
e
\dim(\operatorname{im}T)=2.

Passo 5

Aplicando o teorema núcleo-imagem:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T)=1+2=3,
o que confirma a conta.
Agora os critérios:
  • Como \dim(\ker T)=1\neq0, tem-se \ker T\neq\{0\}, portanto T NÃO é injetora.
  • Como \dim(\operatorname{im}T)=2<3, tem-se \operatorname{im}T\neq\mathbb{R}^3, portanto T NÃO é sobrejetora.

Passo 6

Para ficar mais concreto (duas verificações rápidas que ajudam na prova):
  • Contraexemplo à injetividade: T(0,0,0)=(0,0,0) e T(0,0,1)=(0,0,0) com (0,0,0)\neq(0,0,1), logo não é injetora.
  • Contraexemplo à sobrejetividade: o vetor (0,0,1)\in\mathbb{R}^3 não pertence a \operatorname{im}T, pois toda imagem tem terceira componente 0. Logo não existe v com T(v)=(0,0,1), então não é sobrejetora.

Resposta

Não é injetora nem sobrejetora.

Exercícios relacionados