Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede: decidir se
é injetora, sobrejetora, ambas (bijetora) ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem (teorema da nulidade posto).
Informações dadas:
- A fórmula explícita de
: . - Domínio e contradomínio: ambos
.
Passo 2
Escrever
na forma matricial em relação à base canônica. Para
visto como vetor coluna, existe matriz
tal que
. Montando pelas coordenadas:
pois
Passo 3
Recordando (didaticamente) o que precisamos usar:
- Núcleo (kernel) de
: . é injetora se, e somente se, . - Imagem (range) de
: . é sobrejetora se, e somente se, . - Teorema da nulidade (rank–nullity) para uma transformação linear
:
Aqui
. Então, conhecendo
podemos obter
.
Passo 4
Calcular explicitamente
Resolver passo a passo:
- Da primeira equação segue
.
- Logo. Então .
Portanto a única solução é
. Assim
Passo 5
Concluir sobre injetividade usando o núcleo:
- Como
, temos . - Pela equivalência citada, isso implica que
é injetora.
Passo 6
Aplicar o teorema da nulidade para obter a dimensão da imagem:
Já que
, segue
Passo 7
Concluir sobre sobrejetividade:
- O contradomínio
tem dimensão . - Como
, a imagem de tem a mesma dimensão do contradomínio, logo . - Portanto
é sobrejetora.
Passo 8
Resumo alternativo curto (verificação extra, útil na prova): o determinante da matriz
é
Uma matriz
com determinante não nulo é invertível, o que garante que a transformação linear associada é bijetora (injetora e sobrejetora). Esta observação confirma os resultados obtidos com núcleo e imagem.
Passo 9
Interpretação final e incentivo: então
não envia dois vetores distintos para o mesmo vetor (injetora) e atinge todo
(sobrejetora). Na prova, basta mostrar
e usar o teorema da nulidade; opcionalmente pode-se calcular
para um argumento mais direto.