Para cada transformação abaixo, determine se é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x-y, x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(2x-y,\;x+3y).
O que se pede: decidir se T é injetora, sobrejetora, ambas (bijetora) ou nenhuma, usando o teorema do núcleo e imagem (teorema da nulidade posto).
Informações dadas:
  • A fórmula explícita de T: T(x,y)=(2x-y,\;x+3y).
  • Domínio e contradomínio: ambos \mathbb{R}^2.

Passo 2

Escrever T na forma matricial em relação à base canônica. Para (x,y) visto como vetor coluna, existe matriz A tal que T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Montando pelas coordenadas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x- y\\[4pt]x+3y\end{pmatrix}=T(x,y).]

Passo 3

Recordando (didaticamente) o que precisamos usar:
  • Núcleo (kernel) de T: \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^2\mid T(v)=0\}. T é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0\}.
  • Imagem (range) de T: \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}. T é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
  • Teorema da nulidade (rank–nullity) para uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m:
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Aqui n=2. Então, conhecendo \dim(\ker(T)) podemos obter \dim(\operatorname{Im}(T)).

Passo 4

Calcular explicitamente \ker(T)\): resolver \(T(x,y)=0\), ou seja o sistema linear \[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] x+3y=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação segue y=2x\]. - Substituindo na segunda: \(x+3(2x)=x+6x=7x=0.
    - Logo x=0. Então y=2x=0.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Assim
\ker(T)=\{(0,0)\}.]

Passo 5

Concluir sobre injetividade usando o núcleo:
  • Como \ker(T)=\{0\}, temos \dim(\ker(T))=0.
  • Pela equivalência citada, isso implica que T é injetora.

Passo 6

Aplicar o teorema da nulidade para obter a dimensão da imagem:
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=2.
Já que \dim(\ker(T))=0, segue
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 7

Concluir sobre sobrejetividade:
  • O contradomínio \mathbb{R}^2 tem dimensão 2.
  • Como \dim(\operatorname{Im}(T))=2, a imagem de T tem a mesma dimensão do contradomínio, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
  • Portanto T é sobrejetora.

Passo 8

Resumo alternativo curto (verificação extra, útil na prova): o determinante da matriz A é
\det(A)=2\cdot3-(-1)\cdot1=6+1=7\neq0.
Uma matriz 2\times2 com determinante não nulo é invertível, o que garante que a transformação linear associada é bijetora (injetora e sobrejetora). Esta observação confirma os resultados obtidos com núcleo e imagem.

Passo 9

Interpretação final e incentivo: então T não envia dois vetores distintos para o mesmo vetor (injetora) e atinge todo \mathbb{R}^2 (sobrejetora). Na prova, basta mostrar \ker(T)=\{0\} e usar o teorema da nulidade; opcionalmente pode-se calcular \det(A) para um argumento mais direto.

Resposta

T é injetora e sobrejetora (bijetora).

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