Para cada transformação linear a seguir, determine:
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. Em seguida responda se T é sobrejetora.

Passo 1

O que o problema pede: para cada transformação linear apresentada (cada T) você quer que eu determine (1) a imagem de T, (2) uma base para essa imagem e (3) a dimensão dessa imagem; e por fim responda se T é sobrejetora.
Informações dadas: você não enviou nenhuma transformação linear específica nem suas matrizes ou definições. Portanto não há dados concretos sobre T para eu calcular coisas numéricas.

Passo 2

Por que não dá para resolver o enunciado tal como está: para determinar a imagem, base e dimensão precisamos da representação de T. Normalmente essa representação vem de uma das formas abaixo (uma delas é necessária):
  1. A definição explícita de T em termos de fórmulas (ex.: T(x,y,z)=(x+2y,\,3x-y)).
  2. A matriz de T em bases conhecidas (ex.: A=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&4\end{pmatrix} que representa T entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2).
    Sem uma dessas informações não há como calcular a imagem numérica.

Passo 3

O que eu faria assim que você me fornecer T (algoritmo passo a passo que você pode usar na prova):
  1. Se T vem dada por uma matriz A (suposição mais comum): a imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}.
    • Explicando: cada coluna da matriz é a imagem da base canônica do espaço de entrada; combinações lineares dessas colunas representam todas as imagens possíveis de vetores do domínio.
  2. Para encontrar uma base da imagem: faça a redução por linhas (escalonamento até a forma por linhas reduzida, RREF) da matriz A. Identifique as colunas pivô na RREF. As colunas correspondentes de A (não da RREF, mas da matriz original) formam uma base da imagem.
    • Explicando por que: a RREF mostra quais colunas são linearmente independentes; escolher as colunas originais correspondentes preserva as mesmas combinações lineares.
  3. Para obter a dimensão da imagem: a dimensão é o número de vetores da base da imagem, ou seja, o posto (rank) da matriz A. Em notação, \dim(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{rank}(A).
    • Em provas, conte os pivôs da RREF.
  4. Para verificar se T é sobrejetora: compare \operatorname{rank}(A) com a dimensão do espaço de chegada W.
    • Se \operatorname{rank}(A)=\dim(W) então T é sobrejetora; caso contrário, não é.
    • Explicando: sobrejetora significa que a imagem ocupa todo W; isso equivale a a imagem ter dimensão máxima possível igual a \dim(W).

Passo 4

Detalhando a técnica de escalonamento (RREF) e como extrair a base — passo a passo prático que você pode usar na prova:
  1. Escreva a matriz A.
  2. Aplique operações elementares por linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra — até obter zeros abaixo e acima dos pivôs e pivôs iguais a 1.
  3. Na RREF, cada coluna com pivô corresponde a uma coluna linearmente independente. Anote os índices dessas colunas (por exemplo, colunas 1 e 2).
  4. A base da imagem é formada pelas colunas originais de A com esses índices. A dimensão é a quantidade de índices (número de pivôs).

Passo 5

Um exemplo concreto (para consolidar a ideia — faça isso na prova se tiver um caso parecido): suponha que T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é dada pela matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix}.
  1. As colunas são \mathbf{c}_1=(1,0)^T, \mathbf{c}_2=(2,1)^T, \mathbf{c}_3=(3,4)^T. A imagem é o espaço gerado por \{\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3\}.
  2. Fazendo redução mental (ou RREF): as duas linhas são linearmente independentes, então \operatorname{rank}(A)=2. Isso indica que há 2 colunas pivô. Observando, \mathbf{c}_3 pode ser escrito como combinação linear de \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2 (verificação: \mathbf{c}_3=-5\mathbf{c}_1+4\mathbf{c}_2), então colunas 1 e 2 são independentes e geram a imagem.
  3. Logo \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0)^T,(2,1)^T\}. Uma base possível é \{(1,0)^T,(2,1)^T\}. A dimensão é 2.
  4. Como \dim(\mathbb{R}^2)=2 e \operatorname{rank}(A)=2, T é sobrejetora neste exemplo.]

Passo 6

Dicas de prova rápidas e jeitos de economizar tempo:
  • Se o domínio e o contradomínio são \mathbb{R}^n e \mathbb{R}^m com matriz A de tamanho m\times n: se \operatorname{rank}(A)<m então T não é sobrejetora; se \operatorname{rank}(A)=m então é sobrejetora.
  • Se você não quer fazer a RREF inteira, às vezes basta mostrar que há m colunas independentes (ou que não há) usando observações sobre linhas/colunas; mas cuidado — faça uma justificativa clara.
  • Sempre que a questão pedir “uma base”, escolha as colunas originais correspondentes a pivôs — isso evita problemas de apresentar vetores que não estão no subespaço.

Resposta

Não é possível determinar a imagem, uma base e a dimensão nem afirmar se T é sobrejetora porque o enunciado não fornece as transformações lineares (nem suas matrizes ou fórmulas).

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