Para cada transformação linear a seguir, determine:
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. Em seguida responda se
é sobrejetora.
a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. Em seguida responda se
Passo 1
O que o problema pede: para cada transformação linear apresentada (cada
) você quer que eu determine (1) a imagem de
, (2) uma base para essa imagem e (3) a dimensão dessa imagem; e por fim responda se
é sobrejetora.
Informações dadas: você não enviou nenhuma transformação linear específica nem suas matrizes ou definições. Portanto não há dados concretos sobre para eu calcular coisas numéricas.
Informações dadas: você não enviou nenhuma transformação linear específica nem suas matrizes ou definições. Portanto não há dados concretos sobre
Passo 2
Por que não dá para resolver o enunciado tal como está: para determinar a imagem, base e dimensão precisamos da representação de
. Normalmente essa representação vem de uma das formas abaixo (uma delas é necessária):
- A definição explícita de
em termos de fórmulas (ex.: ). - A matriz de
em bases conhecidas (ex.: que representa entre e ).
Sem uma dessas informações não há como calcular a imagem numérica.
Passo 3
O que eu faria assim que você me fornecer
(algoritmo passo a passo que você pode usar na prova):
- Se
vem dada por uma matriz (suposição mais comum): a imagem de é o subespaço gerado pelas colunas de , isto é, . - Explicando: cada coluna da matriz é a imagem da base canônica do espaço de entrada; combinações lineares dessas colunas representam todas as imagens possíveis de vetores do domínio.
- Para encontrar uma base da imagem: faça a redução por linhas (escalonamento até a forma por linhas reduzida, RREF) da matriz
. Identifique as colunas pivô na RREF. As colunas correspondentes de (não da RREF, mas da matriz original) formam uma base da imagem. - Explicando por que: a RREF mostra quais colunas são linearmente independentes; escolher as colunas originais correspondentes preserva as mesmas combinações lineares.
- Para obter a dimensão da imagem: a dimensão é o número de vetores da base da imagem, ou seja, o posto (rank) da matriz
. Em notação, . - Em provas, conte os pivôs da RREF.
- Para verificar se
é sobrejetora: compare com a dimensão do espaço de chegada . - Se
então é sobrejetora; caso contrário, não é. - Explicando: sobrejetora significa que a imagem ocupa todo
; isso equivale a a imagem ter dimensão máxima possível igual a .
- Se
Passo 4
Detalhando a técnica de escalonamento (RREF) e como extrair a base — passo a passo prático que você pode usar na prova:
- Escreva a matriz
. - Aplique operações elementares por linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra — até obter zeros abaixo e acima dos pivôs e pivôs iguais a
. - Na RREF, cada coluna com pivô corresponde a uma coluna linearmente independente. Anote os índices dessas colunas (por exemplo, colunas
e ). - A base da imagem é formada pelas colunas originais de
com esses índices. A dimensão é a quantidade de índices (número de pivôs).
Passo 5
Um exemplo concreto (para consolidar a ideia — faça isso na prova se tiver um caso parecido): suponha que
é dada pela matriz
- As colunas são
, , . A imagem é o espaço gerado por . - Fazendo redução mental (ou RREF): as duas linhas são linearmente independentes, então
. Isso indica que há 2 colunas pivô. Observando, pode ser escrito como combinação linear de e (verificação: ), então colunas e são independentes e geram a imagem. - Logo
. Uma base possível é . A dimensão é . - Como
e , é sobrejetora neste exemplo.]
Passo 6
Dicas de prova rápidas e jeitos de economizar tempo:
- Se o domínio e o contradomínio são
e com matriz de tamanho : se então não é sobrejetora; se então é sobrejetora. - Se você não quer fazer a RREF inteira, às vezes basta mostrar que há
colunas independentes (ou que não há) usando observações sobre linhas/colunas; mas cuidado — faça uma justificativa clara. - Sempre que a questão pedir “uma base”, escolha as colunas originais correspondentes a pivôs — isso evita problemas de apresentar vetores que não estão no subespaço.
Resposta
Não é possível determinar a imagem, uma base e a dimensão nem afirmar se
é sobrejetora porque o enunciado não fornece as transformações lineares (nem suas matrizes ou fórmulas).